高校数学の場合の数の問題です。

質問

nを自然数とする、n個のボールを３つの箱に分けて入れる。次のように入れる入れ方は何通りあるか。ただし、一個のボールも入らない箱があっても良いものとする。
(1)１からnまで異なる番号のついたn個のボールを、A、B、Cと区別された３つの箱に入れる
(2)互いに区別のつかないn個のボールを、A、B、Cと区別された３つの箱に入れる
(3)１からnまで異なる番号のついたn個のボールを、区別のつかない３つの箱に入れる

やり方も含めて教えていただけると助かりますm(__)m

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

(1)
どのボールも3通りの入れ方があるので、3^n通り・・・答え
(2)
(ア)どの箱にも最低1個のボールを入れる入れ方は、一列に並べた
n個のボールを三つに分ける分け方(n-1)C2=(n-1)(n-2)/2通り
(イ)二つの箱にボールを二分して入れる入れ方は、二つの箱の選び方
3C2×一列に並べたn個のボールを二つに分ける分け方(n-1)C1
=3(n-1)通り
(ウ)一つの箱だけにボールを入れる入れ方は3C1=3通り
以上から(ア)+(イ)+(ウ)=(n-1)(n-2)/2+3(n-1)+3=(n^2+3n+2)/2
=(n+1)(n+2)/2通り・・・答え
(3)
(1)の答え3^n通りの内訳は
(ア)一つの箱だけにボールを入れる入れ方:3通り
(イ)二つの箱にボールを二分して入れる入れ方:3C2(2^n-2)
=3(2^n)-6通り
(ウ)どの箱にも最低1個のボールを入れる入れ方:
3^n-3-{3(2^n)-6}=3^n-3(2^n)+3通りである。
３つの箱の区別がつかない場合、
(ア)は1/3に、(イ)は(1/3)(1/2)=1/6に、(ウ)は1/3!=1/6になるので、
3(1/3)+{3(2^n)-6}/6+{3^n-3(2^n)+3}/6=(3^n+3)/6通り・・・答え

回答No.6

MagicianKuma

No5です。訂正します。完全な計算ミスです。No4さんの考え方でOKです。　失礼しました。

回答No.5

MagicianKuma

>No4さんへ　(3)の考え方はまずいと思います。そもそもそんなきれいな式にはならないと思います。
理由は、(イ)は(1/3)(1/2)=1/6に、(ウ)は1/3!=1/6になるのでと書かれていますが、こうやってはいけません。
例えば(ウ)どの箱にも最低1個のボールを入れる入れ方:を考えたとき
3つの箱に入る個数が異なっていれば1/6でも良いが、3つの箱に入る個数に同じものがあったとき1/6してはいけません。

ボール数n=5でやってみます。区別のない３個の箱に入れるボールの個数を多い順に(a,b,c)とします。
(5,0,0)　5C5=1通り
(4,1,0)　5C4＝5通り　
(3,2,0)　5C3＝10通り
(3,1,1)　5C3＝10通り
(2,2,1)　5C2*3C2=30通り
計　56通りと私の計算ではなりますが、No4さんの答えでは、(3^5+3)/6＝41通り

回答No.3

B-juggler

Ｔｏ．Ｎｏ．２　フォロー感謝ｍ（＿　＿）ｍ

Ｎｏ．１　(o｀・ω・)ゞデシ!!

調子悪いね～σ(・・*)。

しばらく休もうかな・・・。

重複組み合わせが取れるのか迷ったんだけど　ｎＨ２　かな。

迷って、逆を書いて、間違ってると重症だねぇ＞＜

すいません。ｍ（＿　＿）ｍ

（３）は、ｎ！　を　三個に区別せず分ける重複でいいのかな？

あぁこれだけじゃダメだね。　

Σ「ｋ＝１　ｔｏ　ｎ」　ｎＣｋ　×　（ｎ－ｋ）Ｃ　？？

いやダメか？　こんな難しいとは思えないんだけど。。

変数一個じゃここは出せないか？　＃それとも頭が働いてないか？　ヽ（・∀・）ノ　ワチョーイ　

多分、σ(・・*)の頭が働いてないだけだ＾＾；

ｎ＝３　として、（３）は、

１番　が　どこか　（１，０，０）こうして置こう。

２番が　（１，２，０）　←とりあえず　２番は別の箱に入れた。二通りある片方に。

３番が　（１・３，２，０）　←　１つの箱に１と３、１つに２、一個の箱、空っぽ。

と、

（２，０，１・３）　これが一緒だと考えればいいわけですよね。

ダメかなぁ？箱の重複を割り算で消すではまずいかな、

まずいんだろうなやっぱり＞＜

（２）は重複だから、ボールは重複組み合わせで、箱は重複組み合わせではないっていうのは

おかしいね～。何が違うんだろう。

ボールの順番？

上の例だと、３！通り　あるわけだよね。

ダメなんだろうけど、ダメかな？　何言ってるんだσ(・・*)は？

ボールの入れ方は、番号あるから、ｎ＾３　しかないよね。

箱は三つしかないから。

同じ箱には入らないわけじゃない？

つまり　（○、○、○）　←箱が三つってことね。

（○、◎）ではないよね。　箱が二つなんだけど、◎は二つの箱が重なっているってこと。

　＃都合箱は３つあるよね！

これはありえないよね・・・。多分。

うん、◎の箱に　もし一番のボールが入ると、１番が２個ないといけないよね、うん。

なんか違和感があるな。何かがおかしい、うん。

（１）と（２）に、引っ張られすぎてるのかも？？

ゴメンわかんないけど、箱の重なりは、３！以外にあるんだろうか。

　＃きっとあるんだろうな～＞＜

重ね重ね、フォロー感謝。　ちょっと数学休もう。

そのうち復帰します。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

私事で悪いけど、「○○の科学」ってあるでしょう？

あれがね、どうも相対性理論すらかんがみてない「自然科学」を

教義に信仰をあおってる。σ(・・*)曹洞宗仏教徒だから、

本気でその対策をやってるから、そっちで死んでます。

　＃しろします　って日本語だろうか？

　＃スルーしてね、ただの愚痴だから。

質問には答えている上で、自分自身の現状を書いていて、

誰かを非難しているわけではなく、自分の素性を明らかにしているわけではないから、

規約に引っかかる要素はひとつもないから。

これがダメだっていわれたら（(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)以降）、

ＯＫＷａｖｅに断固抗議するかもね。

　＃特定の宗教を否定しているわけではないからね。

　＃否定してつぶす対策をしているとは書いていないからね。

　＃何故それが認められているのか、どうして人は信じているのかが分からないから

　＃それを知ろうと研究してるところ　なだけ。

諸先生方、よろしくお願いします。この場借りて休養宣言です＾＾；

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)　もう一回。Ｂ－ｊｕｇ

回答No.2

MagicianKuma

>No1
(1)はOKですが(2)(3)はその考え方はまずいですよ。
(2)は重複組み合わせです。n個のボールと2つの仕切り（A,B,C3組だから）を考える。(n+2)!/(n!2!)
(3)は難しいです。各組に入る人数で場合分けして、それぞれで個別ボールの組み合わせを丹念に集計する必要があります。

回答No.1

B-juggler

ゴメン、ちょっと調子はよくないんだけど。

元代数学の非常勤です。

何がどう違うかを、ゆっくりと検証してみよう。

（１）は　ボールに順番があり、箱にも区別があるね。

このときは、１番目のボールは、Ａ，Ｂ，Ｃのどの箱に入っても構わないね？

同様に、２番目のボールも、どの箱に入っても構わないね？

・・・・　ｎ番目も　同じだね？

で、３×３×３×・・・・・×３　が　ｎ個あるんじゃないか？とかんがえてみるのは

どうだろうね。

（２）箱の区別はあるけど、ボールに区別がない。

これは、（１）の状況から、ボールの順番分だけ重なりを消してあげればいいんじゃない？

つまり　｛（１）の答え｝／ｎ！　と考えてみるってのはどうだろう。

（３）（２）と逆だ。ボールには区別あるけど、箱がないんだ。

えっと、箱の区別を消してあげればいいんじゃないかな？

｛（１）の答え｝／３！　（箱は三つだからね）。

すまない、調子が悪いようです。確かめてみて、ポカやってるかもしれない。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)