五の参 高校数学の場合の数

質問

n>=3とする1,2,..nのうちから重複を許して6個の数字をえらびそれらを並べた順列を考える、このような順列のうちで、どの数字もそれ以外の5つの数字のどれかに等しくなっているようなものの個数を求めよ

解説 題意の順列に数字aが現れるとするとaは2回以上現れる よってa,b,cはどの2つも異なるものとして6数の組み合わせについて
(1)（a,a,a,a,a,a）(2)(a,a,a,a,b,b) (3)(a,a,a,b,b,b) (4)(a,a,b,b,c,c)の4タイプがある、まずa,bの決め方については

(1)n通り (2)[n]P[2]通り (3)[n]C[2]通り (4)[n]C[3]通り (3)ではたとえばa=1,b=2とa=2,b=1を同一視した
、(4)も同様 でa,b,cを決めると6個の順列については(1)1通り (2)[6]C[2]通り (3)[6]C[3]通り (4)[6]C[2]×[4]C[2]通り 以上により求める個数はn×1+n(n-1)×15+n(n-1)/2×20+n(n-1)(n-2)/6×15.×6=n+25n(n-1)+15n(n-1)(n-2)=15n^2-20n+6n 注(3)は第一段階で[n]P[2]と数えると第二段階では[6]C[3]÷2としなければなりません((4)も同様)

とあったのですが(4,4,4,4,5,5)と(5,5,5,5,4,4)は違う並びで(4,4,4,5,5,5)と(5,5,5,4,4,4)は同じ選び方と考えるのは何故ですか？どちらも回転させたら同じ並びになります

回答No.4

ONEONE · ベストアンサー

(a,a,a,b,b,b)
で
(a, b) = (1, 2), (2, 1)を考えることがn(n - 1)です（n = 2の場合）
で、それぞれの場合（　(a, b) = (1, 2)の場合、(a, b) = (2, 1)の場合　）
で同じ(a,a,a,b,b,b)の組ができるのはわかりますよね！？

(a,a,b,b,c,c)
で
(a, b, c) = (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)を考えることが
n(n - 1)(n - 2)です（n = 3の場合）

で、同様にそれぞれの場合で同じ(a,a,b,b,c,c)の組ができるのはわかりますよね！？

※解説読んだだけで理解したつもりになってると
結局身につかないので自分で解いてください。
解説読んだ後だとしても解説を見ずに答案を作ってください。

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました

回答No.3

ONEONE

もう一度同じものを含む順列を勉強してください。

a, bの組みをn(n - 1)と選んだら2!, a, b, cの組みをn(n - 1)(n - 2)と選ぶなら3!で割ります。

なぜなら、それぞれ2!個、3!個の重複がでるからです。小さいnで並べればその事実は理解できます。

お礼

御返答有難うございます

補足

(a,a,a,b,b,b)のa,bを順番を考えずに選んだ場合は割らなくていいんですよね？

(a,a,b,b,c,c)も順番を考えずに選ぶと割らなくていいんですよね？

順番を考えて選ぶのと考えないで選ぶのとどう違うんですか？例えば順番を考えて選ぶ場合は
a,a,a,b,b,b というようにaから並ぶ事が決まっているという事ですか？

回答No.2

ONEONE

(4,4,4,4,5,5)を並び替えてでできる整数の組と
(5,5,5,5,4,4)を並び替えてできる整数の組は違います。
(4,4,4,4,5,5)をいくら並び替えても(5,5,5,5,4,4)を並び替えた整数にはできない。

(4,4,4,5,5,5)を並び替えてでできる整数の組と
(5,5,5,4,4,4)を並び替えてできる整数の組は同じです。

444455と554444でなにを示したいのかわかりません。

お礼

御返答有難うございます

補足

なるほど、そう言われると分かりました、今度はそれは並べるんですが

(a,a,a,a,a,a)は1通り(a,a,a,a,b,b)は6個の置く場所にbを置く場所を決めればいいので[6]C[2]、(a,a,a,b,b,b)は6個の置く場所にaを置く場所を決めればよいので[6]C[3]

(a,a,b,b,c,c,)は6個の置く場所のうちaを置いてbを置いてcを残りの場所に置くので
[6]C[2]×[4]C[2]×１ですが、これらはどれも順番を気にしなくていいからですよね

(aaabbb)の場合はa,ｂの選び方をn(n-1)とすると並べるときに2で割らないといけないとあるんですがこれは何でですか？

(a,a,b,b,c,c,)の時も選び方をn(n-1)(n-2)とa,b,cを選んだら並べる時に3で割らないといけないという事ですか？

回答No.1

ONEONE

前者は同じになりません。並べて見てください。

お礼

御返答有難うございます

補足

でも444455は180度回転させると554444になりますよ