y=ixを平面で表現してみたら

質問

高校生です。先日、複素数について習い、ちょっと思ったことです。
i=√(-1),y=ix上の任意の点を点Ｐ（p,pi)、（p∈Ｃ）とすると、y=ixは二次元上で考えれば原点ただ一点のみを通る直線である。
pr）この時、原点を点Ｏとすると、ＯＰ間の距離は、p^2+(pi)^2=p^2+p^2・i^2=0
距離が0である二つの点は重なるから、点Ｐは原点と重なる。q.e.d.

どうでしょうか。複素数は積について閉じているっていうのの証明はやってましたので、pi∈Ｃから点Ｐは複素数ってのは分かってます。むろん、二次元においての点が三次元では直線にもなりうるように、この直線も、何か別の虚数平面において直線になるのかもしれませんが、二次元ｘｙ平面で無理やり表すと原点Ｏただ一点になるんですよね。なんか面白いなぁと・・・。素人考えなんで穴だらけでしょうが、そこらへんを教えていただきたいのです。

あと、f(x)=-ax^2をx-iで割った余りがaであることを利用して、
f(1)=-a÷(1-i)=Q(商)...(余り)aというのを思いついて（式おかしいか？）元が-aなのに余りにaがでてくるのが凄く面白いと思ったんですけど。なんかもっと応用とかあれば教えていただきたいです。

回答No.3

kabaokaba

途中経過はめちゃくちゃだけども
y=ixでx,yが実数ならばx=y=0というのは当たり．

これは，一枚の複素平面で考えるのではなく
x,yも複素数だとして，
(a+bi, c+di)という世界で考えることができます．
＃いわゆる四次元（複素二次元）

この世界でy=ixで表される図形は
複素平面を「傾けた」ものです．
この「傾けられた複素平面」が
われわれのよく知っている普通の「座標平面」と
交わる点が実は原点だけというのが
「y=ixでx,yが実数ならばx=y=0」ということの幾何的な解釈の一つです．

普通の三次元では，平面同士が一点で交わることはありませんが
四次元だと平面同士が一点で交わることがあるということです．

=========
「関数のグラフ」ってのは実数だけで考えるよりも
複素数の範囲で考えて，実数の場合は複素数の場合の「断面」と
みなす方が理論的にはすっきりするのです．
ただし，なれないとこの四次元の世界の扱い方というか
幾何的な直観は厄介です．

お礼

>この世界でy=ixで表される図形は複素平面を「傾けた」ものです．この「傾けられた複素平面」がわれわれのよく知っている普通の「座標平面」と交わる点が実は原点だけというのが「y=ixでx,yが実数ならばx=y=0」ということの幾何的な解釈の一つです．

何か分かりそうです。凄く何かつかめそうです。というか、複素数からここまで遠い世界が切り開けるとは思っていませんでした。思ったよりはるかに大きいですね。ちょっと一晩ゆっくり考えてみます。すぐには理解できませんので・・・（今はテスト前なので時間ないかもですが）

回答ありがとうございました

回答No.2

koko_u_

>距離が0である二つの点は重なるから、点Ｐは原点と重なる。
この結論は明らかにおかしいので、結局

>ＯＰ間の距離は、p^2+(pi)^2
は「距離」を定めていないことがわかります。
複素数 C の直積空間 C^2 の距離をどう定義するべきか再度考えましょう。

>y=ixは二次元上で考えれば原点ただ一点のみを通る直線である。
「二次元上」の意味が C^2 の部分空間 R^2 との共通部分という意味なら、
「距離」を持ち出すべくもなく、明らかです。
y = ix で y, x 共に実数なら、x = y = 0 ですね。
( x ≠ 0 なら i = y/x が実数になってしまう)

後半部分は何を言わんとしているのか良くわかりませんでした。

お礼

>>ＯＰ間の距離は、p^2+(pi)^2は「距離」を定めていないことがわかります。複素数 C の直積空間 C^2 の距離をどう定義するべきか再度考えましょう。

複素数Cの直積空間C^2の距離　の意味が分かりません。ユークリッド距離ぐらいしか先生が言及していませんので、距離の他の定義について、今はちょっとわかりませんが後で調べてみます。その定義がわかれば前進しそうですね。

後半部分は気にしなくていいです・・。

回答ありがとうございました。

回答No.1

proto

まず複素数の集合から複素数の集合への写像のグラフは普通には描けません。
試しにw=z^2のグラフでも描いてみてください。
z=x+yiとしてzを表示するのにxとyの2軸が必要な関係で複素関数w=f(z)のグラフを描こうと思ったら、zの実軸,zの虚軸,wの実軸,wの虚軸の4軸が必要だからです。
我々は普通3次元までしか想像出来ませんから4軸のグラフは描けないし想像するのも難しいです。

どうしてもグラフを描きたいときには、zの実軸,zの虚軸,wの実軸のグラフとzの実軸,zの虚軸,wの虚軸のグラフを別々に描きます。
つまり
　　Re(w) = Re(f(z))
　　Im(w) = Im(f(z))
のグラフを別々に描くわけです。

また複素数z=x+yiと原点との距離は
　　|z| = √(x^2+(yi)^2)
ではなく
　　|z| = √(x^2+y^2)
です。
またはzと共役な複素数をz~と書くと
　　|z|^2 = z*z~
とも書けます。z~=(x-yi)ですから、これら二つの定義は同値です。

後半の話では
＞、f(x)=-ax^2をx-iで割った余りがaである
とは
　　f(x)=-ax^2 = -a(x+i)*(x-i) + a
ということです。
また
　　-ax^2/(x-i) = -a(x+i) + a/(x-i)
です。
これは-ax^2÷(x-i)=-a(x+i)余りaとは違いますよ。
実数で考えても同じです、a÷b=q余りrなら
　　a=q*b +r
であって
　　a/b=q+r
とは違います。

はっきり言ってむちゃくちゃですが、習いたてで頭の中がきちっと整理されていないのでそんなもんでしょうね。
私も高校の頃は今考えると馬鹿なんじゃないかとおもう理論展開でいろいろと想像していました。
ですが習ってなくても自分で考えて式にして何か証明してみようというその姿勢は良いですよ。
積極性があり、受け身の態度では得られない理解が得られると思います。

いろいろ考えてるついでに、
三角関数や指数関数対数関数に複素数を代入したらどうなるだろう？とか考えてみたらどうですか？
sin(x)とかlog(z)とかです。

お礼

なるほど！複素数の関数は四次元で表わせるのですか。ちょっと遠い世界ですね・・・。
>また複素数z=x+yiと原点との距離は
>　　|z| = √(x^2+(yi)^2)ではなく
>　　|z| = √(x^2+y^2)です。
そうなんですか。これはちょっとよくわかりませんでした。

後半部分は自分でも何を言いたいのかよく分かってません。なんとか複素数・虚数を身近に感じようとしてたんです。

三角関数や指数関数対数関数はまだ習っていませんので、習ったらまた考えてみようと思います。

ありがとうございました。