数学III 定積分

質問

この問題の2まで解けたので3と4の解き方を教えてください

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

画像の小さな文字がよく見えません。

f(x)=(1/3)x^2-∫[0,x] (x-t)f'(t)dt
として回答します。

(1)
f(0)=0-∫[0,0] (x-t)f'(t)dt=0-0=0 …(答)

(2)
f(x)=(1/3)x^2+∫[0,x] (t-x)f'(t)dt …(※1)
　=(1/3)x^2+[(t-x)f(t)][t:0,x]-∫[0,x] f(t)dt
　=(1/3)x^2+xf(0)-∫[0,x] f(t)dt ←(1)のf(0)=0を代入
　=(1/3)x^2 -∫[0,x] f(t)dt
f'(x)=(2/3)x-f(x)　…（答）

(3)
{e^x f(x)}'=e^x f(x)+e^x f'(x)={f(x)+f'(x)}e^x
(2)のf'(x)を代入
=(2/3)xe^x　…（答）

(4)
(3)の式を不定積分
e^x f(x)=∫(2/3)xe^x dx=(2/3)∫xe^x dx
部分積分
=(2/3){xe^x-∫e^x dx}
=(2/3)(xe^x -e^x) +C
=(2/3)(x-1)e^x+C
(1)よりf(0)=0なので
e^0 f(0)=-(2/3)e^0 +C=0
C=2/3

e^x f(x)=(2/3)(x-1)e^x+(2/3)
e^x(>0)で割って
∴f(x)=(2/3)(x-1)+(2/3)e^(-x) …(答)