関数f(x)=・・・について

質問

関数f(x)=[log2](x+1)+[log4]{2(5-x)}について

(1)f(x)=(1/2)[log2]g(x)と表すときg(x)の求め方

(2)f(x)の最大値とそのときのxの値の求め方
を教えて下さい

答えは
(1)g(x)=2(x+1)^2(5-x)
(2)x=3のとき最大値３

※[log2]などとしたのは”ログ２底”のことです

回答No.2

spring135

#1です。
最後のところで勘違いをしてました。

g(3)=64＝2＾6

f(3)=(1/2)log2(64)=6/2=3

です。

回答No.1

spring135

(1)f(x)=(1/2)[log2]g(x)と表すときg(x)の求め方

f(x)=[log2](x+1)+[log4]{2(5-x)}=[log2](x+1)+[[log2]{2(5-x)}]/(log2)4

=[log2](x+1)+[[log2]{2(5-x)}]/2=(1/2)[2log2(x+1)+log2(2(5-x))]

=(1/2)[log2{x+1)^2+log2(2(5-x))]=(1/2)log2[(x+1)^2×[2(5-x)]

=(1/2)log2[g(x)]

g(x)=2(5-x)(x+1)^2

(2)f(x)の最大値とそのときのxの値の求め方

対数の真数が正であることから

-1<x<5 (1)

において

f(x)=(1/2)log2[g(x)]

の最大値を求める。

f(x)を自然対数で表す。

f(x)=(1/2)log2[g(x)]=(1/2)loge[g(x)]/loge2=[log2(e)/2]log[g(x)]

c=[log2(e)/2]=定数を用いて

f(x)=clog[g(x)]

f'(x)=g'(x)/g(x)

g(x)は(1)において0となることはない。

よってf'(x)=0となるのはg'(x)=0のときである。

g(x)=-2(x-5)(x+1)^2

g'(x)=-6(x-3)(x+1)

xの範囲に制限がないときg(x)はx=-1で最小、x=3で最大。

f(x)はg(x)とともに単調変化をするのでf(x)の最大はg(x)が最大のときに起きる。

g(3)=16

f(3)=(1/2)log2g(3)=(1/2)log2(16)=2