f（x）の役割について

質問

例えばf（x）=2xがあるとします。
このとき、f（x）は2xによって変換される値として置かれているだけで、f（x）という書き方でそれはxの関数であることを示しています。
しかしこのf（x）がある値を2倍するという操作をしているわけではなく、2xがしています。
つまり、f（x）は値であり、xの関数であることを示している以外に何か意味を持ってますか?

機能を言うならfですよね。
fは写像としての役割を果たしているので、ある値をある値に対応（つまり言い方を変えるとある値をある値に変換）しているので、ある値を2倍しているのはfであるとも言えると思います。

だから、f（x）というものは機能を持たず、それは単なる値にすぎなくて、fが機能を持っているのですよね?
また、2xなどの（xの式）と同じ機能を持っていますよね?

最後に、f（x）をxの関数、またはfをxの関数というのは、どちらが正しいのでしょうか?
どちらでもいいのでしょうか。
fが関数というのは、fは写像（別の言い方で関数）だからで、f（x）の場合はf（x）は値で、xの値が一つ決まればf（x）の値も一つ決まりますし。どちらでもいいとは思いますが。
関数の意味の定義の仕方の違いだと思います。fが関数だと言う場合は写像を意識し、f（x）の場合は値を意識しているかと思います。

回答No.3

boiseweb · ベストアンサー

私自身は「f(x) という記号が関数の機能を持つ」と言った覚えはありません．
一方，「『f(x) という記号が関数の機能を持つ』という言明は誤りだ」と言った覚えもありません．
また，#1さんの回答について，正しいとか誤りとかの評価を下した覚えもありません．

そのうえで，私は，
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『f(x) という記号が関数の機能を持つ』ことを示唆する記述が多くの教科書にみられることは事実．
しかし，その流儀には「f(x) が指すのが関数か値かはっきりしない」という欠陥がある．
そのため，その流儀はあまり推奨できない．
教科書の立場は過去の（必ずしも合理的でない）慣習を引きずったもので，それを「正しい」と思い込まないほうがよい．
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と，自分の立場を表明しています．

これ以上，何をどう答えろというのですか？

「f が関数なのか，f(x) が関数なのか？」という問いは，数学に関わる人々の間でも見解が統一されていなくて，だれかの一存で正解を決定できるような問いではないのです．
この問いについて「唯一絶対の『権威ある正解』が存在して，誰かがそれを知っていて，教えてくれる」ことを期待しているとしたら，それは無理です．
回答者にできるのは
「現実の記号の使われ方はこんなふうだ」
「私はこういう立場をとる」
ということを語ることだけです．
その回答をどう理解し，当初の疑問にどういう「自分なりの納得のしかた」を見出すかは，質問者自身に委ねられるべき問題です．

お願いですから，「『正解』は何なのですか？」「僕の考えは正しいのですか，誤りなのですか？」などの問いで回答者に執拗に迫るのは，やめてください．

お礼

すみません。そういうつもりで書いたわけではなかったのですが…。

なるほど。
fが機能を持つか、f（x）が機能を持つか、というのははっきり定義がなされていなく、人それぞれの捉え方があるんですね。

fが機能を持つとも言えるし、f（x）が持つとも言えるのだと、自分なりに捉えようと思います。

ありがとうございました。

回答No.2

boiseweb

関数を表すのに f(x) と書く習慣に対しては，
「関数 f を表すのか，それとも x に f を適用した結果の値を表すのか，はっきりしない」
という批判が昔からあります．
（#1さんが言及しているラムダ記法は，そういう批判への答のひとつでもあります．）
それにもかかわらず，関数を f(x) とか y=f(x) で表すと書いてある教科書が多いのは，歴史的なしがらみを引きずっている，というか，過去の習慣と現代の集合論的な記法のはざまで「煮え切らない」態度を執筆者がとっている，ということで，「教科書に書いてあるからそれが正しいのだ」とは言い切れない面があります．

私がよいと思う流儀は，関数を指し示すときには f(・) と書くことです．
括弧の中の・は「値を入れる場所」を表します．
こうすれば，単に f と書くのと比べて，
(1) 1変数の関数である（引数の数が1個である）
(2) 関数の合成は「右から順に適用」と解釈すればよい
という情報が見てとれるというメリットを享受できます．
また，f(x) という記法との差異が小さいので，関数を f(x) と書く流儀の人にとっても違和感が少ないと思います．
一方，f(x) という記法がもつ「関数なのか値なのかわかりにくい」という欠点は解消されます．

ところで，関数 f(・) が「どのような関数か」を説明しようと思うと，「入れる値」と「出てくる値」の関係を記述する必要があります．そして，その関係を記述するためには，たとえば
「x を入れると 2x が出てくる」
のように，「入れる値」を x などの文字で表したいですよね．
そのときにだけ，x という文字を導入して，f(x) と書いてよいことにしましょう．
つまり，関数を指し示すときの名称としては f または f(・) を使って x という文字は一切使わないことにして，関数を説明するときにだけ
「f(・) は f(x)=2x で定まる関数です」
のように，「入れる値」に文字 x を使うのです．
ここで導入する文字 x は「関数の中身の説明」のためだけの文字（C言語の関数定義の「仮引数」と同じ）です．関数の説明の外側でたまたま同じ文字 x が出てきても，それとは別物と理解します．

このようにして，関数 f(・) が何であるかをはっきりさせるプロセスが終了したら，そこから先は，f(1) も f(a) も f(x) も，どれも「単なる値にすぎない」と，すっきり理解できます．

こういう流儀が多くの教科書に広まれば，質問者さんのように悩む人がいなくなると思うのですが…

お礼

回答ありがとうございました。

補足

♯1さんから、『fは確かに機能を持っているが、機能をf（x）とも書く。』というような回答を頂きました。
しかしf（x）が機能を持っている事にやはり納得できません。
f（x）=（xの式）があれば、f（x）は（xの式）によって算出される値であって、機能を言ってるのではないとしか思いません。
f（x）=2xがあれば、例えばf（1）=2ですが、抽象的にx=xならばf（x）=2xです。
だからこの場合は常にf（x）は2xという値を意味しているのだから、やはりf（x）は単なる値にすぎない（♯2さんは最後にそう書かれていらっしゃいますが）のだから、f（x）が機能を持つというのに納得出来ません。

よければ回答お願いします。

回答No.1

ur2c

> f（x）は値であり、xの関数であることを示している以外に何か意味を持ってますか?

もし「f(x) には f が x の関数であるということ以外にも情報があるか」という質問なら、「あります」が答えです。

たとえば「関数 f(x)」と言えば、「ああ、関数 f と g の合成は多分、慣習どおり g(f(x)) という風に書くんだな」ということがわかります。それに対してたとえば「関数 f 」とだけ言えば、「関数の合成は g(f(x)) という風に右から左へやるのかもしれないけど、ひょっとして (x)(fg) という風に左から右へやるのかもしれない」とも思えます。

> f（x）というものは機能を持たず、それは単なる値にすぎなくて、fが機能を持っているのですよね?

ほんとはそう考えて良いと思いますけど、実際には機能を f(x) とも書きます。

> また、2xなどの（xの式）と同じ機能を持っていますよね?

機能は具体的には 2 x で記述されていて、その機能に付けた名前が f です。だから f とかの名前を使いたくなければ、名無しの関数を

λx. 2 x

という風に作ります。こういう書き方については参考 URL の lambda calculus を見てください。これと同様の表記法は計算機言語にもよくあり、名前を付けるほどではない、使い捨ての関数定義に使います。

> 最後に、f（x）をxの関数、またはfをxの関数というのは、どちらが正しいのでしょうか? どちらでもいいのでしょうか。

λx. f(x)

は「x の関数 f」と言ってますから、f を x の関数と言う方が簡潔で、f(x) を x の関数と言うのは冗長です。でも、そこまで厳密にしなくても大概、話は通じます。

> fが関数だと言う場合は写像を意識し、f（x）の場合は値を意識しているかと思います。

そのとおりだと思います。

単に f と言われた場合に私が持つイメージは、（非常に大きいかもしれない）空間を、ごっそり他の空間に投射する、映写機みたいなものです。それに対して f(x) と言われた場合に私が持つイメージは、具体的な要素 x に、何かごちゃごちゃ加工手続きを施すと、対応する具体的な値 f(x) がポンと出て来る装置です。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%83%80%E8%A8%88%E7%AE%97

お礼

回答ありがとうございました。
分かりやすかったです。

補足

f（x）が機能を持っている事にやはり納得できません。
f（x）=（xの式）があれば、f（x）は（xの式）によって算出される値であって、機能を言ってるのではないとしか思いません。
f（x）=2xがあれば、例えばf（1）=2ですが、抽象的にx=xならばf（x）=2xです。
だからこの場合は常にf（x）は2xという値を意味しているのだから、やはりfが機能を持っていて機能をf（x）とも書くというのが納得できません。

よければ回答お願いします。

あと、確かに自分もfが関数という場合は集合から集合への対応をイメージし、f（x）が関数という場合はブラックボックスから出る値だとイメージしました。