高校数学の数列の問題再質問です4-4

質問

問題http://imgur.com/0kNIEjE
解説http://imgur.com/TH6vGp4

解説の
最初のΣ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式とあるのですが、これはp次式じゃないですか？p乗なわけですし

Σ[k=1→n]k^p=1/(p+1)・n^(p+1)+1/2・n^p+...(*)この式はどこから出てきたのですか？

自然数m(>=2)について(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=m+1C1・k^m+m+1C2・k^(m-1)+...となるとありますが何故
m>=2から始めるのですか1からじゃ駄目なんですか？

(n+1)^(m+1)-1=m+1C1・Σ[k=1→n]k^m+m+1C2Σ[k=1→n]k^(m-1)+～この式が何故等号で同じになるのか分かりません、それとこの式をp<=m-1の時で考えるのが分かりません

Σ[k=1→n]k^mはm-1次以下とあるのですが、m次以下じゃないですか？m乗ですし、m次以上の部分が(1/m+1C1)・{(n+1)^(m+1)-m+1C2Σ[k=1→n]k^(m-1)}のm次以上の部分に等しいというのが良く分かりません、m次以上の部分が

{1/(m+1)}・｛n^(m+1)+(m+1)n^m-(m+1)m/2・n^m/m}=1/(m+1)・n^(m+1)+n^m/2となるのも良く分かりません　と殆ど良く分からないですが、是非宜しくお願いします

回答No.13

think2nd · ベストアンサー

No6です。
回答者に、いろいろ言われるのは、ちょうど、患者さんが、お医者さんに、症状を、正しく言えない
　のと同じですよ。
　医者を変えるか、熱心に病状を訴えるかですよ。どちらを取るかはあなたのジャッジです。
　人を頼らないで、自分で直すという方法もありますよ。
　　(この時は、良い友達(本もこの友達集合に入る。)や先生が必要でしょうが・・?
　　ね。←この発想まで来ると、教えてグーに、不安解消の、望みを託して、良い友達を探しに
　　入ったと解釈できるから、人文系の解釈になりそう。)

　No6の"この回答への補足"
　　を読んでがっかりしました。
　あなたなら　1　すなわちこの関数S[n-1]を求めない限り、1+2+・・+nの次数を宣言できないのです。
　　　　や　　2　左辺はS[n-1]+nですが、これは1次式ですか。nだけ1次式です。(前回の回答の引用文)
　　　に異議をはさむはずです。
　　あなたの視点に立っていうなら　「S[n-1]のすべての項はnの一次式と信じているのですから。
　　1次をを足しているだけだだから1次だ」というはずです。

　私が、あなたに察していただきたかったこと、は
　　No6.の回答から　あなたに
　　　　1　数列{a[n]}においてa[n]はnの関数であること。そして各項がたとえnの1次式であろうと
　　　　2　1+2+・・+nを求めると次数が一つ上がる
　　というマジックが、不変の事実で、それを証明しようとしている。
　　んだと悟ってほしかったわけです。

　　後半を　解説しますが、
　　まず　基礎知識を確認します。
　　でないと、お互い、別の土俵に立って、ゲーム(罵り合っている)ようなものですからね。
1　二項定理を知っていて、展開できる。すなわち
　　　　(k+1)^(m+2)-k^(m+2)　を展開できる。
　　　　[m+2=nとおいてから、かなならず鉛筆を持って自力でやってください。ょ]

2　数学的帰納法とは
　　　　自然数nに関するある命題Q(n)がすべてのnについて真であることをいうために
　　　(i)n=1のとき命題Q(1)が真であることをいう。
　　　(ii)n=kのとき命題Q(k)が真だと仮定すると
　　　　　　n=k+1の命題Q(+1)も真になる、と証明する
　　　(iii)　(i),(ii)が成り立つからすべてのnについて命題Q(n)は真である。
　　　　　　　　　　　　というルーチン(決まりきった仕事という意味)を理解している。
　　さて確認です。
　　　(ii)について確認します。n=kとありますがここは実は1より大きくk以下の自然数sなら
　　　どれでも命題Q(s)が真であること仮定しています。
　　　すなわち
　　　(ii)は、ある自然数をkとすると1<s<=kのすべてのSについて命題Q(s)が真であると仮定
　　　するとn=k+1の命題Q(k+1)も真になる、ことを証明する
　　　という意味で理解してください。
　　　(n=kのときとは、'k番目までが真であると仮定するわけだから、番号がk以下なら命題は
　　　　成り立つと仮定'するよ。という意味です。)
　　3　すでにNo6で確認している。
さて　
　上の2で使ったkは、この問題において既に使われています(予約語といいます)からkの代わりに
　mで代用します。
　またこの問題ではnも予約語になっています。それをpに置き換えています。
　だから本問は
　 　自然数pについて 　∑k^pの次数はp+1である。ことを帰納法で証明せよ、と言っている単純
　　な問題です。
　　しかも解き方まで、載せている。(大学のサービス精神に感謝していいものでしょうか?)
　以下証明
　　P=1のとき、明らか。
　　P=mのとき　∑k^mが　m+1次の整式ならば
　　　　　　　∑k^(m+1)がm+2次の整式であることを証明する。
　　　(この∑p^(m+1)の求め方までこの問題に載っている、これじゃゲームじゃないよね)
　上の確認2であなたのノートに書いてあるように
(k+1)^(m+2)-k^(m+2)=[m+2]C[1]k^(m+1)+[m+2]C[2]k^m+[m+2]C[3]k^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2]
　　となるから
k=1のとき　代入して
　2^(m+2)-1^(m+2)=[m+2]C[1]1^(m+1)+[m+2]C[2]1^m+[m+2]C[3]1^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2]
k=2のとき
　3^(m+2)-2^(m+2)=[m+2]C[1]2^(m+1)+[m+2]C[2]2^m+[m+2]C[3]2^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2]
・・・・

k=nのとき
(n+1)^(m+2)-n^(m+2)=[m+2]C[1]n^(m+1)+[m+2]C[2]n^m+[m+2]C[3]n^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2]
　両辺の
　右辺左辺を縦に加えて　整理すると

　(n+1)^(m+2)-1=[m+2]C[1](∑k^(m+1))+[m+2]C[2](∑k^m)+[m+2]C[3]{∑k^(m-1)}+・・+n
　この式にあるターゲットは右辺にある∑k^(m+1)ですが、この(m+1)乗和以外の右辺に並ぶs乗和(s<=m)は　仮定よりすべてm乗以下の次数です。
　だから左辺に踵を返して(n+1)^(m+2)の次数を探ると、これはnのm+2次式になりますから、
　　右辺の[m+2]C[1](∑k^(m+1))以外を左辺に移行して、あげれば
(n+1)^(m+2)-1-[m+2]C[2](∑k^m)-[m+2]C[3]{∑k^(m-1)}-・・-n=[m+2]C[1](∑k^(m+1))・・(1)
ですから、　　　
　　　∑k^(m+1)の次数は、　左辺が、「m+2次式だよ」と右辺に話しかけているでしょ。
　よってすべてのpについてこの命題は真である。
　以上からだと
　n^(p+1)とn^pの係数を求めるのにまた時間がかかります。←このトラブルをあなたが送ったサイト
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の解説者は先読みしているのです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　だから帰納法の(ii)にあたるmをP=m-1に
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　切り替えているのです。

　(1)の恒等式に戻ります。
　　∑k^(p+1)の展開式で最大次数がp+2次になりますから、n^pの係数は求まりません。
　　一つ次数を落として(mから1を引きます。)
　 (n+1)^(m+1)-1-[m+1]C[2]{∑k^(m-1)}-[m+1]C[3]{∑k^(m-2}-・・-n=[m+1]C[1](∑k^m)
　そしてm=pとおけば
　　　(n+1)^(p+1)-1-[p+1]C[2]{∑k^(p-1)}-[p+1]C[3]{∑k^(p-2)}-・・-n=[p+1]C[1](∑k^p)

　あとは右辺の係数にあたる[p+1]C[1]=p+1で両辺を割れば
　　n^(p+1)と n^pの係数探しの旅ですよ。

　PS.　あなたが作った模様のhttp://　サイトは解説者の同意の下ですか。
　　違法コピーと解釈されるのが心配です。

　「Σ[k=1→n]k^p=1/(p+1)・n^(p+1)+1/2・n^p+...(*)この式はどこから出てきたのですか？
自然数m(>=2)について(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=m+1C1・k^m+m+1C2・k^(m-1)+...となるとありますが何故
m>=2から始めるのですか1からじゃ駄目なんですか？」にご自身で答えてください。

お礼

御返答有難うございます

補足

>2　左辺はS[n-1]+nですが、これは1次式ですか。nだけ1次式で
>す。(前回の回答の引用文)
>に異議をはさむはずです。あなたの視点に立っていうなら>「S[n-1]のすべての項はnの一次式と信じているのですから。
>1次をを足しているだけだだから1次だ」というはずです
S[n]は1+2+3+・・・+nをn(n+1)/2としてｎの2次式という風に考えるのが分かったからS[n-1]+nがnの1次式ではないというのは分かります

>不変の事実で、それを証明しようとしている。
>んだと悟ってほしかったわけです。
分かりますよ、n=1とか2で次数が上がるからn=m-1まで成立と仮定してn=mで成立を示して全部成立を示そうとしているんですよね

>1　二項定理を知っていて、展開できる。すなわち
>2　数学的帰納法とは
この2つは分かっていますよ

>(ii)は、ある自然数をkとすると1<s<=kのすべてのSについて命
>題Q(s)が真であると仮定
>するとn=k+1の命題Q(k+1)も真になる、ことを証明する
>という意味で理解してください。
解説ではp<=m-1での成立を仮定してp=mでの成立を示して全部成立という流れのようですが、p<=m仮定p=m+1成立で全部成立という流れよりp<=m-1仮定の方が楽とあるんですが、これの理由は何でですか？普通はp<=m仮定じゃないですか？

>あなたが作った模様のhttp://　サイトは解説者の同意の下です>
>か。違法コピーと解釈されるのが心配です。

どうなんですかね、皆やってるし、この本にも転載がどうとかってことは書いてないんですが、でもそんな事言いだしたら、問題と解説をそのまま手書きで投稿することも駄目って事になるんですか？

質問とか出来なくなるんじゃないですか？

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

>はい、n^2/2+n/2ですね

(k+1)^2-k=2k+1

これをk=1~nで両辺とも足しこむと

(n+1)^2-1=2Σk + n

Σk=(1/2)n^2+(1/2)n

と自力でだせるのであれば問題ありません。

さらに、P=2、P=3 と自力で出せれば
ようやく解説と繋がってきます。

お礼

御返答有難うございます

補足

出すだけだったら辺多々足して出たんですが、説明の所で、疑問点があります

p=1,2,…,m-1(m≧2)に対し命題が成り立つことを仮定した上のm-1までを仮定するところとか、普通ｍまでじゃないですか？m>=2のところも1からじゃない所とかです

回答No.8

Tacosan

って～か, どう見ても
(n/2)^p 以上の項を n/2個 (くらい) 足しこんでる
んだから, n に関して少なくとも p+1次だよね.

お礼

御返答有難うございます

補足

詳しくお願いします

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

>n(n+1)/2これがnの2次式はすぐ分かりますよ

いやだから、これは問題文の4行目そのまま。
目の前に反例があるのになんで気がつかないかな。

p=2、p=3、p=4、・・・で解くための解法は問題の中に
示されているので、解いてみて式の形を予想するのが
次の段階です。
p=1がわかればp=2が、P=2がわかれば
3がわかります。やがて規則性を掴めるようになります。

こうしてようやくー般解にのぞめるわけですが、

まず、p=1はとけますよね?

お礼

御返答有難うございます

補足

>p=1はとけますよね?
はい、n^2/2+n/2ですね、これを順にp=2とか入れていくと

1/(p+1)・n^(p+1)+n^p/2+・・と仮定できるって事ですよね

回答No.6

think2nd

疑問ばっかり持って(しかもその疑問は解答の解説についてのようで)、ほんとに理解しているのか、
疑問になりますが、面白い(トリビアルな)疑問で　ついつい乗せられてしまいます。
あなたがその純粋な、疑問を捨てる時が、数学を諦めるスタートになるかが心配です。
疑問を持つことを忘れいでください、もう一つ鉛筆を持って自分で解いて、疑問を作ってください。
実践して気づいた疑問は、見て気づいた疑問と違って、相手に説明する迫力が違います。

「解説の
最初のΣ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式とあるのですが、これはp次式じゃないですか？p乗なわけですし」
　について、ヒントを書きます。
　理論的で素直な観察力を持つあなたの全く正しい疑問です。疑う余地などありません。

Σ[k=1→n]k^pについて、
　P=1のときは　公式より
　　　1+2+・・+n=n(n+1)/2・・・(1)
　ですから、左辺は1次式で、右辺は2次式ですし、　　　
p=2のときも　2乗和の公式から
1^2+2^2+・・+n^2=n(n+1)(2n+1)/6・・・(2)
　ですから、左辺は2次式で、右辺は3次式　
　・・・でなんだか、トリックにかかったようですよね。
　　よく迷った時は、定義に戻れと言われたもんでした。
　種明かしをしますが、上の公式の左辺の次数は仮説でも何でもありません。自然な式です。もちろん次数もわかります。
(1)についてお話します。
　　着眼点は左辺の+・・・+の箇所です。ここがトリックの箇所と考えました。
　　直観的には　左辺は何項足されていますか。
　そうn回足されています、しかもそれらを足していますからn×nです。だから左辺は2次式になります。
　以上のような回答では納得しませんよね。

　解いて解説します。
　　(1)の左辺から+・・・+を取り払って自然な整式をつくりましょう。そして次数を考えましょう。
　　それを突破口と考えます。<目的は左辺が1次式かですよ。!>
　　1からnまでの和をS[n]とおくすなわち
　　S[n]=1+2+・・+n とするとS[n-1]+n=S[n]・・(3)　(n>1)が成り立ちますよね。

　　さてS[n]=1+2+・・+(n-1)+nですが、これを後ろから、各項を変形します。
　　　　　={n-(n-1)}+{n-(n-2)}+・・+{n-(1)}+{n-(0)}　←いいでしょうか?
　{の次にくるnは全部でn個ありますから、足せばn^2と求まります。
　　整理しましょう。
　　　　S[n]=n^2-{(n-1)+(n-2)+・・・+1}・・・(4)ですが。
　はて疑問!!
　　今度はこの右辺の{(n-1)+(n-2)+・・・+1}の部分です。
　　　nが何個出てきますか?　そうn-1個ありますよね。加えれば全部でn(n-1)になります。
　　　(4)に代入するとn^2は消えてしまいます。
　　だからわからなくなります。

　　突破口は(3)です。
　　S[n]=S[n-1]+n
で左辺は1次式だといっている。
　　1+2+・・+nですが右辺はS[n-1]+nですが、これは1次式ですか。nだけ1次式です。
　　　S[n-1]はnの関数です。これが1次関数だというのは、時期そうしょう(早とちり)です。
　つまり、ここが出題者の本音です。
　　すなわち関数S[n-1]を求めない限り、1+2+・・+nの次数を宣言できないのです。
　やってみましょう
　(4)に戻ります。これは
　　　　S[n]=n^2-S[n-1]と書けますが(3)を代入すると
　　　S[n-1]+n=n^2-S[n-1]
2S[n-1]=n(n-1)
S[n-1]=n(n-1)/2
すなわち関数S[n-1]の次数は2次です。
　だから、1+2+・・+nの次数は2次だといえます。

　あえて、遠回しに解説しました。あなたに疑問を持ってもらいたいからです。

　　想像を書きたてられてゲームになると思います。

PS.私も高校時代2乗和の公式(2)を知って疑問に思いました。左辺は自然数だけの和なのになんで右辺は有理数なんだろうと。6で割り切れないような自然数を探そうとしました。あとでn(n+1)(2n+1)が6の倍数であることを証明した時、もう忘れられません。

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございます、Σk^pの所ににそこまで深い意味があったんですね

>理論的で素直な観察力を持つあなたの全く正しい疑問です。疑う
>余地などありません。
有難うございます、褒められる事は少ないので、うれしいです、
大抵の人からけちょんけちょんに言われるので

pの次数の所は仮定として置くと言う所は分かったんですが、他の～が分かりませんと書いている疑問点をお願いしてもいいですか？

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

〉1^p+2^p+・・・・+n^pですよね？
〉nもp乗なのでp次式じゃないんですか？

じゃあ p=1 では?

1+2+3・・・+(nー1)+ n = n(n+1)/2

のnの次数は? 1ですか?

お礼

御返答有難うございます

補足

n(n+1)/2これがnの2次式はすぐ分かりますよ

今回は1^p+2^p+・・・・+n^pを1+2+3・・・+(nー1)+ n = n(n+1)/2
みたいにした時の1^p+2^p+・・・・+n^p=の右辺がp+1次式って事ですよね？これは仮定ですよね、berokandaさんの説明で分かったんですが、最初からp+1次式と決め付けているのかと思ったら解説読んだら～という命題とありますから、まだ仮定なんですね

回答No.4

noname#199771

#3だけど
＞帰納法の仮定ってやつですよ。
が誤解を招きそうだったので補足。

画像にある解説では、
・1のときに正しいことを示す
・m-1のときを仮定してmのときに正しいことをしめす
ということをやってます。
だからpのときが帰納法の仮定というのは正しくない
です。

（余計混乱させたかも？）

お礼

御返答有難うございます

補足

普通kの時成り立つと仮定してk+1が成立すると全部成り立つという流れですよね、文字はmですがkでやるとk-1で仮定してkで成り立つとするのは何でなんですか？何か意味やメリットがあるんですか？

回答No.3

noname#199771

＞最初のΣ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式とある
＞のですが、これはp次式じゃないですか？
＞p乗なわけですし

疑問は尤もなのですが、そう書いてある時点
では何次式なのか不明です。それをこの後
で証明しようとしてるわけですから。
帰納法の仮定ってやつですよ。

＞Σ[k=1→n]k^p=1/(p+1)・n^(p+1)+1/2・n^p+...(*)
＞この式はどこから出てきたのですか？

どこからもでてきません。
p=1とかp=2とかからの類推であり予想。
間違ってるかもしれないわけ。

それでこの予想が正しいことをこの後で証明
しようとしてるんです。

これから証明しようとしていることなのに、
それがどうやって導き出されたのか聞く
と論理が循環してしまいます。

＞何故m>=2から始めるのですか1から
＞じゃ駄目なんですか？

別に1からでもいいですけど1のときはすでに
知ってるから必要ないということ。

＞Σ[k=1→n]k^mはm-1次以下とあるのです
＞が、m次以下じゃないですか？

疑問は尤もなのですが、帰納法の仮定を
使っているから機械的にm-1次以下とし
なければならないのです。仮定したことに
「なぜ？」とか疑問をさしはさむからわけが
わからなくなる。

何を仮定して何を証明しようとしているのか
はっきりさせながら読むようにしましょう。

＞{1/(m+1)}・｛n^(m+1)+(m+1)n^m-(m+1)m/2・n^m/m}=1/(m+1)・n^(m+1)+n^m/2
＞となるのも良く分かりません

ここは単純に展開してるだけです。
自分でノートに書いて計算してみればわ
かります。

あなたの質問からわかるのは、あなたは
数学的帰納法を全く理解していないという
ことです。

そんな状態でここで質問してもあなたの
理解が深まることは決してないでしょう。

教科書をひっぱりだしてきて数学的帰納法
の部分を最初から読み直しましょう。

お礼

御返答有難うございます

>数学的帰納法の部分を最初から読み直しましょう。
数学的帰納法なら知ってますよ、n=1の時成り立つ事を代入して示して、n=kの時成り立つと仮定して、n=k+1の時成立したら全部のnについて成り立つとかってのですよね

とりあえず、まだ、全部貴方の説明を読めていないので、疑問が出たら補足に書きます

補足

>別に1からでもいいですけど1のときはすでに
>知ってるから必要ないということ。
1の時は(k+1)^2^k^2=2k+1になりますが、これを何で省いたんですか？すでに知っていると言いますが、どこかで出てきましたか？
省く理由が良く分かりません

後は(*)の式をp<=m-1の時で成り立つと仮定しようと思ったのは何故ですか？普通p<=mとかじゃないですか？

後は何回も解説読んで理解できなかったのが、Σ[k=1→n]k^mのm次以上の部分を帰納法の仮定から
1/(m+1)・{n^(m+1)+(m+1)n^m-(m+1)m/2・n^m/m}と表せるのが分からないのとこれを整理して1/(m+1)・n^(m+1)+n^m/2と表した後(*)はp=mのときも成り立つとありますが、

これで何でp=mの時に(*)が成り立つと分かるんですか？、個の後(*)はつねに真とありますが、何でそう言えるのか分かりません

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>Σ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式とあるのですが、これはp次式じゃないですか？

ｎのp+1次式の意味を確認しましょう。「nの」ですよ。「nの」

お礼

御返答有難うございます

補足

試しにΣ[k=1→n]k^pこれを展開すると

1^p+2^p+・・・・+n^pですよね？nもp乗なのでp次式じゃないんですか？

回答No.1

yyssaa

誤解があるようだから、最初の質問にだけ回答すると

解説の
最初のΣ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式とあるのですが、これはp次式じゃないですか？
p乗なわけですし
＞Σ[k=1→n]k^p=1^p+2^p+3^p+・・・・・+n^pがｎのp+1次式になるという解説であり、
1^p+2^p+3^p+・・・・・+n^pをnのp次式とは云わない。
ｎのp次式とはa_kを定数としてΣ[k=0→p]a_k*n^kのことである。

お礼

御返答有難うございます

補足

えと、つまりどういう事なんですか？変数がp個あればp次式って事ですか？　他の所も是非宜しくお願いします