高校数学の等差数列の問題です 4-2

質問

等差数列a[1],a[2],....について、次の問いに答えよ　ただしm>nとする

(1)a[m+n]=α,a[m-n]=βのとき、a[m],a[n]とをα、β,mおよびnで表せ

(2)S[m]=S[n]のとき、S[m+n]を求めよ、ただし、S[k]は最初の第k項までの和を表す

(1)は分かりました、(2)で使うかもしれないので、解説は(1)から書きます

解説は(1)はa[n]は等差数列であるからa[m+n]-a[m]=a[m]-a[m-n]　よって

a[m]=(a[m+n]+a[m-n])/2=(α+β)/2 つぎに交差dは(α-β)/2であるから　

a[n]=a[m+n]-md=α-m/2n・(α-β)=(2n-m)/2n・α+m/2n・β

(2)はS[m]=S[n]⇔a[n+1]+a[n+2]+....+a[m]=0

⇔a[n+1]+a[m]=0

⇔(a[n+1]-nd)+(a[m]+nd)=0

⇔a[1]+a[m+n]=0 したがってS[m+n]=(a[1]+a[m+n])/2・(m+n)=0

とあるのですが、(a[n+1]-nd)+(a[m]+nd)=0からa[1]+a[m+n]=0への式変形が分かりません

回答No.3

LesAdieux · ベストアンサー

回答No.2の方が「以下は全て間違い」と書いてますが、
そんなことは無く、そこだけ間違いです。後は全部正解。

ところであなたは

a[n+1]+a[n+2]+....+a[m]=0

⇔a[n+1]+a[m]=0

の式変形を理解しているんですか？

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a[1]+nd=a[n+1]
a[m]+nd=a[m+n]

解答はこれを変形利用したに過ぎません。
これは自明ですよね。
公差を足せばその分だけ項が大きくなる。
公差を引けばその分だけ項が小さくなる。

お礼

御返答有難うございます

補足

>の式変形を理解しているんですか？
はい、そこは分かりますよ

a[n+1]+a[n+2]+....+a[m]=0
⇔(m-n)(a[n+1]+a[m])/2=0
m>nより(a[n+1]+a[m])/2=0
つまりa[n+1]+a[m]=0です

>解答はこれを変形利用したに過ぎません。
有難うございます、これで理解できました、助かりました～

回答No.2

spring135

とんでもない間違いをしていませんか。

a[m+n]=α,a[m-n]=β

項差=(α-β)/2n

です。

以下の議論はすべて間違いです。

お礼

御返答有難うございます

補足

すいません、書き間違えました　項差=(α-β)/2nです

回答No.1

Tacosan

a[n+1] = a[n]+d.

お礼

御返答有難うございます

補足

え、どういう事ですか？a[n+1]=a[n]+dを代入すると

(a[n+1]-nd)+(a[m]+nd)=0は(a[n]+d-nd)+(a[m]+nd)=0

⇔a[n]+d+a[m]=0となるだけでa[1]+a[m+n]=0にならないですよ？

それにそれだったらa[n+1]+a[m]=0から(a[n+1]-nd)+(a[m]+nd)=0への変形でndを足したり引いたりする意味が無くないですか？