数学の問題です。

質問

数学の質問です。
錆びついた頭を磨こうと思い取りかかった離散数学ですが、この問題の解き方が
わからず、四苦八苦しています。お力をお貸しください。
お客と胴元が、次のような賭けを行う。
１．双方が１円ずつだす。
２．お客がさいころを振って、３以上の目が出たら胴元の勝ちで、それ以外の目
が出たらお客の勝ちとする。
３．勝った方が、全額（２円）を自分のものにする。

最初の所持金はお客がm円、胴元はn円とする。この賭けを、所持金がなくなるま
で続けるとき、最終的にお客が勝つ確率を次のように求める。

k円持っている人が最終的に勝つ確率をP_kとし、P_kの漸化式を作ってお客の勝つ確率を求める。
k円持っていて最終的に勝つのは、次の勝負に 勝って所持金が
〇〇円になり最終的に勝つか、または次の勝負に負けて所持金が〇〇 円になり最終的に
勝つかである。１回の勝負でお客の勝つ確率は△△ 、負ける確率△△は であるから、次の漸化式を得る。

漸化式：P_k＝

これを整理すると、

式：
となる。この特性方程式 ： ＝０の解は t＝□ 、□ であるから、

P_k = C× ＋ D ×

と表せる。ただし、C、D、は定数である
P_o= 　　　　　　　　　　　かつP_m+n＝　　　　　　であるから、C、Dの値は次のようになる。

C＝－　□ ／ □かつD＝□ ／□
よって、

P_k＝

である。お客は最初m円もっていたから、お客の勝つ確率p mは

Ｐ_m＝ □／□

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

全然分かりませんか？　
>k円持っていて最終的に勝つのは、次の勝負に 勝って所持金が〇〇円になり最終的に勝つか、または次の勝負に負けて所持金が〇〇 円になり最終的に勝つかである。
ここは分かるでしょう？　勝てば所持金はk+1になりますし、負ければk-1ですね。
>１回の勝負でお客の勝つ確率は△△ 、負ける確率△△は であるから、次の漸化式を得る。
1回の勝負で勝つ確率、負ける確率は問題で設定されています。1/3と2/3　よって
漸化式：P(k)＝1/3・P(k+1)+2/3・P(k-1)　整理して、
P(k+1)-3P(k)+2P(k-1)=0　を得る。特性方程式は t^2-3t+2=0　　　解t=1,2
P(k)=C・1^k + D・2^k　と表せる。　P(0)=0(もう負けている状態)、P(m+n)=1（もう勝っている状態）
上記に代入して P(0)=C+D=0、P(n+m)=C+D2^(m+n)=1　より
C=-1/(2^(m+n)-1)、D=1/(2^(m+n)-1)
P(k)=(2^k -1)/(2^(m+n) -1)
k=m: P(m)=(2^m -1)/(2^(m+n) -1)

お礼

MagicianKuma様　ありがとうございました。
漸化式や特性方程式までは、なんとかわかったのですが、そのあとが進まなくて困っていました。
とても助かりました。
本当にありがとうございました。