- ベストアンサー
高校数学の数列の問題再質問です
- 最初のΣ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式とあるのですが、これはp次式じゃないですか？p乗なわけですし
- 自然数m(>=2)について(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=m+1C1・k^m+m+1C2・k^(m-1)+...となるとありますが何故m>=2から始めるのですか1からじゃ駄目なんですか？
- (n+1)^(m+1)-1=m+1C1・Σ[k=1→n]k^m+m+1C2Σ[k=1→n]k^(m-1)+～この式が何故等号で同じになるのか分かりません、それとこの式をp<=m-1の時で考えるのが分かりません
- arutemawepon
- お礼率97% (1166/1191)
- 数学・算数
- 回答数30
- ありがとう数30
- みんなの回答 （30）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
No6です。 回答者に、いろいろ言われるのは、ちょうど、患者さんが、お医者さんに、症状を、正しく言えない のと同じですよ。 医者を変えるか、熱心に病状を訴えるかですよ。どちらを取るかはあなたのジャッジです。 人を頼らないで、自分で直すという方法もありますよ。 (この時は、良い友達(本もこの友達集合に入る。)や先生が必要でしょうが・・? ね。←この発想まで来ると、教えてグーに、不安解消の、望みを託して、良い友達を探しに 入ったと解釈できるから、人文系の解釈になりそう。) No6の"この回答への補足" を読んでがっかりしました。 あなたなら 1 すなわちこの関数S[n-1]を求めない限り、1+2+・・+nの次数を宣言できないのです。 や 2 左辺はS[n-1]+nですが、これは1次式ですか。nだけ1次式です。(前回の回答の引用文) に異議をはさむはずです。 あなたの視点に立っていうなら 「S[n-1]のすべての項はnの一次式と信じているのですから。 1次をを足しているだけだだから1次だ」というはずです。 私が、あなたに察していただきたかったこと、は No6.の回答から あなたに 1 数列{a[n]}においてa[n]はnの関数であること。そして各項がたとえnの1次式であろうと 2 1+2+・・+nを求めると次数が一つ上がる というマジックが、不変の事実で、それを証明しようとしている。 んだと悟ってほしかったわけです。 後半を 解説しますが、 まず 基礎知識を確認します。 でないと、お互い、別の土俵に立って、ゲーム(罵り合っている)ようなものですからね。 1 二項定理を知っていて、展開できる。すなわち (k+1)^(m+2)-k^(m+2) を展開できる。 [m+2=nとおいてから、かなならず鉛筆を持って自力でやってください。ょ] 2 数学的帰納法とは 自然数nに関するある命題Q(n)がすべてのnについて真であることをいうために (i)n=1のとき命題Q(1)が真であることをいう。 (ii)n=kのとき命題Q(k)が真だと仮定すると n=k+1の命題Q(+1)も真になる、と証明する (iii) (i),(ii)が成り立つからすべてのnについて命題Q(n)は真である。 というルーチン(決まりきった仕事という意味)を理解している。 さて確認です。 (ii)について確認します。n=kとありますがここは実は1より大きくk以下の自然数sなら どれでも命題Q(s)が真であること仮定しています。 すなわち (ii)は、ある自然数をkとすると1<s<=kのすべてのSについて命題Q(s)が真であると仮定 するとn=k+1の命題Q(k+1)も真になる、ことを証明する という意味で理解してください。 (n=kのときとは、'k番目までが真であると仮定するわけだから、番号がk以下なら命題は 成り立つと仮定'するよ。という意味です。) 3 すでにNo6で確認している。 さて 上の2で使ったkは、この問題において既に使われています(予約語といいます)からkの代わりに mで代用します。 またこの問題ではnも予約語になっています。それをpに置き換えています。 だから本問は 自然数pについて ∑k^pの次数はp+1である。ことを帰納法で証明せよ、と言っている単純 な問題です。 しかも解き方まで、載せている。(大学のサービス精神に感謝していいものでしょうか?) 以下証明 P=1のとき、明らか。 P=mのとき ∑k^mが m+1次の整式ならば ∑k^(m+1)がm+2次の整式であることを証明する。 (この∑p^(m+1)の求め方までこの問題に載っている、これじゃゲームじゃないよね) 上の確認2であなたのノートに書いてあるように (k+1)^(m+2)-k^(m+2)=[m+2]C[1]k^(m+1)+[m+2]C[2]k^m+[m+2]C[3]k^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2] となるから k=1のとき 代入して 2^(m+2)-1^(m+2)=[m+2]C[1]1^(m+1)+[m+2]C[2]1^m+[m+2]C[3]1^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2] k=2のとき 3^(m+2)-2^(m+2)=[m+2]C[1]2^(m+1)+[m+2]C[2]2^m+[m+2]C[3]2^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2] ・・・・ k=nのとき (n+1)^(m+2)-n^(m+2)=[m+2]C[1]n^(m+1)+[m+2]C[2]n^m+[m+2]C[3]n^(m-1)+・・+[m+2]C[m+2] 両辺の 右辺左辺を縦に加えて 整理すると (n+1)^(m+2)-1=[m+2]C[1](∑k^(m+1))+[m+2]C[2](∑k^m)+[m+2]C[3]{∑k^(m-1)}+・・+n この式にあるターゲットは右辺にある∑k^(m+1)ですが、この(m+1)乗和以外の右辺に並ぶs乗和(s<=m)は 仮定よりすべてm乗以下の次数です。 だから左辺に踵を返して(n+1)^(m+2)の次数を探ると、これはnのm+2次式になりますから、 右辺の[m+2]C[1](∑k^(m+1))以外を左辺に移行して、あげれば (n+1)^(m+2)-1-[m+2]C[2](∑k^m)-[m+2]C[3]{∑k^(m-1)}-・・-n=[m+2]C[1](∑k^(m+1))・・(1) ですから、 ∑k^(m+1)の次数は、 左辺が、「m+2次式だよ」と右辺に話しかけているでしょ。 よってすべてのpについてこの命題は真である。 以上からだと n^(p+1)とn^pの係数を求めるのにまた時間がかかります。←このトラブルをあなたが送ったサイト の解説者は先読みしているのです。 だから帰納法の(ii)にあたるmをP=m-1に 切り替えているのです。 (1)の恒等式に戻ります。 ∑k^(p+1)の展開式で最大次数がp+2次になりますから、n^pの係数は求まりません。 一つ次数を落として(mから1を引きます。) (n+1)^(m+1)-1-[m+1]C[2]{∑k^(m-1)}-[m+1]C[3]{∑k^(m-2}-・・-n=[m+1]C[1](∑k^m) そしてm=pとおけば (n+1)^(p+1)-1-[p+1]C[2]{∑k^(p-1)}-[p+1]C[3]{∑k^(p-2)}-・・-n=[p+1]C[1](∑k^p) あとは右辺の係数にあたる[p+1]C[1]=p+1で両辺を割れば n^(p+1)と n^pの係数探しの旅ですよ。 PS. あなたが作った模様のhttp:// サイトは解説者の同意の下ですか。 違法コピーと解釈されるのが心配です。 「Σ[k=1→n]k^p=1/(p+1)・n^(p+1)+1/2・n^p+...(*)この式はどこから出てきたのですか？ 自然数m(>=2)について(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=m+1C1・k^m+m+1C2・k^(m-1)+...となるとありますが何故 m>=2から始めるのですか1からじゃ駄目なんですか？」にご自身で答えてください。
その他の回答 (29)
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>引用って自分の文章が主で引用する所がわずかじゃないとありますがネットで >問題の質問してる人のほぼ全てが著作権違反なんじゃないですか？ 文章の中の分量は関係ないです。 また皆やっているからよいというわけでもありません。 >宜しければ入試問題を質問する時大丈夫な質問の仕方を例で示していただけません 校名と年度を明記し、そのまま紹介する。これだけです。
お礼
御返答有難うございます
補足
じゃあ今回の問題だったら58年の埼玉大学の問題ですhttp://imgur.com/0kNIEjE でいいんですね？
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
m を m+1 に置き換えるというのは ２項係数の扱い方を知っていれば 瞬時に終わってしまいます。 まず２項係数(組み合わせ nCr のこと)をちゃんと学ぶのはいかがでしょう。 パスカルの３角形とか、３公式とかもいりません。 ごく基本的な階乗を使った定義だけでもこの問題は解けます。
お礼
御返答有難うございます
補足
n個のものからr個を選ぶ組み合わせの数が[n]C[r]ですよね どう言うことでしょうか、二項展開なら出来ますよ
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>>つまり出典を明らかにすること。 >本のタイトルを書くという事ですか？入試問題だったら何大学の問題かを書くという事ですか？ 問題集XXXXXXの何章何ページの問題 XX-YY の引用です。 と書いとけばよいでしょう。わかればよいので。 入試問題を引用するときは、学校名と出題年を添えるのが一般的なようです。 >>おこした方が無難。 >おこそうというのはどういう事をすることですか？ おこすというのは自分で作るということです。 本の図面も引用ならコピーは許されているみたいですね。 この点は間違っていました。 >引用というのはどういう事をやるんですか？数値とか変えても駄目なんですか？ 場合によりますが原文のままが原則です。 http://www.library.osaka-u.ac.jp/doc/2014_Quotation.pdf
お礼
御返答有難うございます
補足
引用って自分の文章が主で引用する所がわずかじゃないとありますがネットで問題の質問してる人のほぼ全てが著作権違反なんじゃないですか？ 宜しければ入試問題を質問する時大丈夫な質問の仕方を例で示していただけません
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
あまり考えてなかったけど、少なくとも「引用」の形をとらないと100%違法でしょうね。 つまり出典を明らかにすること。 あと画像コピーを載せると出版社側の著作権に引っかかる可能性があるので、図面は おこした方が無難。 ＃書籍の著作権には、作者のものと本の体裁に関する出版社側のものがあります。 引用にも限度というものがあって良識の範囲にとどめないと駄目。一つの参考書を総なめするような引用を やったら、さすがに出版社も怒るでしょう。売れなくなっちゃいますから。 それから、書籍に「無断転載禁止」と警告を載せる必要はないということも認識してください。 著作権は主張するものではなく、自動的に発生するものだからです。
お礼
御返答有難うございます
補足
>つまり出典を明らかにすること。 本のタイトルを書くという事ですか？入試問題だったら何大学の問題かを書くという事ですか？ >おこした方が無難。 おこそうというのはどういう事をすることですか？ >引用にも限度というものがあって良識の範囲にとどめないと駄目 引用というのはどういう事をやるんですか？数値とか変えても駄目なんですか？
- think2nd
- ベストアンサー率63% (23/36)
No13です。 同じフィールドに立たないと、お互い何言っているかわからなくなりますね。 回答への補足に応答します。 最初のΣ[k=1→n]k^pはｎのp+1次式とあるのですが、これはp次式じゃないですか？p乗なわけですし の疑問には ほんとにガッテンしてていだけたのですね。 次は、がってんから、確信に変わるステップに入るわけですよ。 おっしゃる通り p=m-1までの成立すると仮定すると、p=mでも命題が真になるから、全部真だと証明することになります。 "p<=m-1の仮定の方が楽とあるんですが、これの理由はなんですか。"→No13の解法を読んで理解してください。そのことに触れていますよ。 私の解法は、正統派で押し通そうとしています。この方法だと∑k^(p+1)の恒等式が出てしまいます。 1 その打開策をどうしているか読み取ってください。 2 この私の解法には1か所肝心なところに+1を付けるのを忘れています。どこか見つけてください。 もう一点 3 n^pの係数を探すには、∑k^pのn^(p+1)の係数が何かを確信して理解しておかないと わからなくなりますよ。 これらを発見してから、貴方の送った解説と読み比べた方がいいかと考えた次第です。 PS 違法コピーの件についてですが、 みんなやっていれば、怖くないという考えでしょうか。 そうでしょうね。 倫理の問題ですからね。たまたま、この画像を見た解説者の気持ちを、貴方がわかるかです。 なんか数学より難しい問題でしょうか。そうは思いませんよ。著作権法違反だとかで痛めつけられ てから、罪の重さを感じることもあるかもしれません。
お礼
御返答有難うございます
補足
>この私の解法には1か所肝心なところに+1を付けるのを忘れてい>ます。どこか見つけてください。 どこでしょうか、何回も読みましたが、分かりませんでした >違法コピーの件についてですが、 >みんなやっていれば、怖くないという考えでしょうか。 >そうでしょうね。倫理の問題ですからね。たまたま、この画像を >見た解説者の気持ちを、貴方がわかるかです でも、そんな事言いだしたら掲示板で質問とか出来ないじゃないですか？一体どこまでがセーフなんですか？ それにこの本見たけど、無断転載したら駄目とか書いてませんでしたよ？ >著作権法違反だとかで痛めつけられ >てから、罪の重さを感じることもあるかもしれません。 実際こんなので、逮捕とかされるの？
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>自分でもやってみたけど、 >分からなかったのです、 >是非宜しくお願いします 回答の式がすでに目の前にあるのに？ 理解不能です。機械的に置き換える だけですよ。単なる手仕事です。 それさえできないならあきらめましょう。
お礼
御返答有難うございます
補足
分かりました
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>p<=m-1時(*)の式が成立すると >仮定したほうが、m<=1のとき成立するのを >仮定より楽になると聞いたのですが、それは何故ですか？ こういう手を動かせばわかる作業は人に頼まず 自分でやりましょう。 少しは汗かかないと身に付きませんよ。
お礼
御返答有難うございます
補足
自分でもやってみたけど、分からなかったのです、是非宜しくお願いします
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
>Σ[k=1→n]k^p=1/(p+1)・n^(p+1)+1/2・n^p+...(*)この式はどこから出てきたのですか？ これは本来自分で推測すべきものですが、p=1, 2, 3 程度の式を自力で出して、 合致することを確認すればよいでしょう。 >(n+1)^(m+1)-1=m+1C1・Σ[k=1→n]k^m+m+1C2Σ[k=1→n]k^(m-1)+～この式が何故 >等号で同じになるのか分かりません、 (k+1)^(m+1)-k^(m+1) = (m+1)C1・k^m + (m+1)C2・k^(m-1) + ・・・ を 両辺 k=1～n で足しこんだだけ。上の式は単純な2項定理による展開です。 最後の変換は、仮定から p<=m-2 の式は n^(m-1)次までの項しか含まないことを利用している。 つまり n^(m) や n^(m+1)の項の係数には影響しない。ここがわかればあっさり係数がでてきます。
お礼
御返答有難うございます
補足
p<=m-1時(*)の式が成立すると仮定したほうが、m<=1のとき成立するのを仮定より楽になると聞いたのですが、それは何故ですか？ 計算等で理由を教えてください
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
〉p=1,2,…,m-1(m≧2)に対し命題が成り立つことを 〉仮定した上のm-1までを仮定するところとか、 〉普通ｍまでじゃないですか これは好みの問題。 m=l+1 などと置き換えればどうとでも なりますよね。どうでもよい話です。
お礼
御返答有難うございます
補足
>これは好みの問題。 m=l+1 >などと置き換えればどうとでも >なりますよね。どうでもよい話です。 やってみます
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
〉(k+1)^2-k=2k+1 おっとタイポがありました。すいません。 (k+1)^2-k^2=2k+1
お礼
御返答有難うございます
補足
了解です
お礼
御返答有難うございます
補足
>2 左辺はS[n-1]+nですが、これは1次式ですか。nだけ1次式で >す。(前回の回答の引用文) >に異議をはさむはずです。あなたの視点に立っていうなら>「S[n-1]のすべての項はnの一次式と信じているのですから。 >1次をを足しているだけだだから1次だ」というはずです S[n]は1+2+3+・・・+nをn(n+1)/2としてｎの2次式という風に考えるのが分かったからS[n-1]+nがnの1次式ではないというのは分かります >不変の事実で、それを証明しようとしている。 >んだと悟ってほしかったわけです。 分かりますよ、n=1とか2で次数が上がるからn=m-1まで成立と仮定してn=mで成立を示して全部成立を示そうとしているんですよね >1 二項定理を知っていて、展開できる。すなわち >2 数学的帰納法とは この2つは分かっていますよ >(ii)は、ある自然数をkとすると1<s<=kのすべてのSについて命 >題Q(s)が真であると仮定 >するとn=k+1の命題Q(k+1)も真になる、ことを証明する >という意味で理解してください。 解説ではp<=m-1での成立を仮定してp=mでの成立を示して全部成立という流れのようですが、p<=m仮定p=m+1成立で全部成立という流れよりp<=m-1仮定の方が楽とあるんですが、これの理由は何でですか？普通はp<=m仮定じゃないですか？ >あなたが作った模様のhttp:// サイトは解説者の同意の下です> >か。違法コピーと解釈されるのが心配です。 どうなんですかね、皆やってるし、この本にも転載がどうとかってことは書いてないんですが、でもそんな事言いだしたら、問題と解説をそのまま手書きで投稿することも駄目って事になるんですか？ 質問とか出来なくなるんじゃないですか？