数学の問題の質問です。

質問

手のつけ方すらわからず困ってます。
解説をお願いします。

a(0)=0,a(1)=1,a(n+2)=-2a(n+1)-2a(n) (n=0,1,2,……)
で定義される数列｛a(n)｝がある。
このとき、ある定数kに対し
a(n+4)=ka(n) (n=0,1,2,……)
が成り立ち k=[ ア ] である。
また、mが1以上の整数の時
Σ[i=4m→8m-1]a(i)をmで表すと
Σ[i=4m→8m-1]a(i)=[ イ ]となる。

という問題の解説をできるだけわかりやすくお願いします。

回答No.2

Kules

a(n+2)=-2a(n+1)-2a(n)
の関係式をうまくつかってやればいいですね。
同じnを使っていると混乱しそうなので、
a(m+4)=ka(m)を考えましょうか。
m+4=(m+2)+2なので、最初の関係式のn=m+2と思ってやると
a(m+4)=a((m+2)+2)=-2a((m+2)+1)-2a((m+2))
となります。右辺第一項の中身はm+3なのでこれもまたm+3=(m+1)+2と見て、今度はn=m+1と思ってやると
同じことができますね。これを何回か繰り返していけば右辺がa(m)だけになるので、その時ついてる係数がkの答えです。

Σ計算というのは結局書き並べて足していけば求まるはずなので、最初のいくつかを書いてみましょう。
Σ[i=4m→8m-1]a(i)=a(4m)+a(4m+1)+a(4m+2)+a(4m+3)+a(4m+4)+a(4m+5)+a(4m+6)+a(4m+7)+…
と続いていくわけですが、前半で求めた通りa(n+4)=ka(n)なので、n=4mと思ってやると
Σ[i=4m→8m-1]a(i)=a(4m)+a(4m+1)+a(4m+2)+a(4m+3)+ka(4m)+ka(4m+1)+ka(4m+2)+ka(4m+3)+…
　=(a(4m)+a(4m+1)+a(4m+2)+a(4m+3))(1+k)+…
となります。さらにa(4m+7)の次はa(4m+8)ですが、4m+8=(4m+4)+4としてn=4m+4と思ってやるとa(4m+8)=ka(4m+4)となり、さらにn=4mと思ってやることでa(4m+8)=ka(4m+4)=k*k(a(4m))=k^2a(4m)となります。
これをi=8m-1まで延々繰り返していく（実際に全部を書き並べるわけではなく、途中でルールがわかったらうちきって問題ないです）ことで、
Σ[i=4m→8m-1]a(i)=(a(4m)+a(4m+1)+a(4m+2)+a(4m+3))(1+k+k^2+k^3+…)
となります。「…」がどこまで続くかは考えて下さいね。どこまで続くかがわかれば、後ろのカッコはΣで表せることがわかります。
Σ[i=4m→8m-1]a(i)=(a(4m)+a(4m+1)+a(4m+2)+a(4m+3))(1+k+k^2+k^3+…)
　=(a(4m)+a(4m+1)+a(4m+2)+a(4m+3))×Σ[i=1→○]k^(i-1)
これで、後ろのカッコ部分は解決しました。
次は(a(4m)+a(4m+1)+a(4m+2)+a(4m+3))部分ですね。
これも、例えばa(4m)=a((4m-4)+4)=ka(4m-4)
のようにすることができるので、この操作をどんどん繰り返していけば
a(4m)=αa(0)のようにすることができます（αはkとmで表せます）
これにより、Σ[i=4m→8m-1]a(i)がmで表せることになりました（kはただの数字ですね）

参考になれば幸いです。

回答No.1

Tacosan

なんて親切な問題だ....

[ ア ] は特に考えるまでもなくひたすら計算するだけで出てくるよね. それを使ってホゲれば [ イ ] も求まりそう.