不等式の問題

質問

x1>x2>・・・・>xn
y1>y2>・・・・>yn
という関係のある実数がある。
yの並べ替えたものをz1、z2・・・・znとする。
Σ(k=1～n)xk・yk≧Σ(k=1～n)xk・zk
となることを証明せよ。
という問題がありました。
どうやって解けばよいでしょうか？結構いろいろな解法があるようですが、わかりません。

回答No.4

hesaid

NO.3です。数直線2本並べて以下のように論証することもできそうです。

積和が最大値を得るときのxiのペアをyj（i,j=1,2…,n、i≠j）と仮定する。
xiとyjのペアを線で結ぶ。
少なくとも1つ、この線を跨ぐ線で結ばれるペアが存在が存在する。これらをxp,yq（p,q=1,2…,n、p≠i、q≠j）とする。
ペアを入れ替えると、xi・yj + xp・yq ＜ xi・yq + xp・yj
となり、当初のペア時に積和が最大値を得ることに矛盾。
よって、i=jであることが必要。
＜以下略＞

回答No.3

hesaid

大筋だけ。。。

まず、x1,x2…,xnを数直線上に並べる。
その真下に、y1,y2…,ynを数直線上に並べる。
x1の積のペアをyi（i≠1）、y1の積のペアをxj（j≠1）とした場合、
x1・yi + xj・y1 ＜ x1・y1 + xj・yi（理由はNO.2様の回答ご参照。ペア同士を線で結んだとき、クロスしているものがあれば、ペアを入れ替えることにより積和は大きくなるということ。）
このことから、xとyの積和が最大値を得る為には、x1との積のペアはy1であることが必要であることがわかる。
同様の議論を繰り返していくことにより、
x2のペアはy2、x3のペアはy3…、xnのペアはynであることを要す。…1)

ここで、xとyの積のペアはn!通りと有限であるから、その中から最大値が存在することは明らか。…2)

1)2)の考察から、
Σ（xk・zk）の最大値は、Σ（xk・yk）に他ならない。

回答No.2

nag0720

Z=Σ(k=1～n)xk・zk
ただし、x1>x2>・・・・>xn、zp<zq　(p<q)

zpとzqを交換したzkをykとする。
つまり、yp=zq、yq=zp、yk=zk　(k≠p,q)

Y=Σ(k=1～n)xk・yk
とすると、
Y-Z=Σ(k=1～n)xk(yk-zk)
　　=xp(yp-zp)+xq(yq-zq)
　　=xp(zq-zp)+xq(zp-zq)
　　=(xp-xq)(zq-zp)>0

これから言えることは、zp<zq　(p<q)のとき、この２つを交換すると、Z=Σ(k=1～n)xk・zkは大きくなる。

zp<zq(p<q)となる２つ要素を交換していくと、最終的にはzkは降順にソートされることになる。
よって、Σ(k=1～n)xk・yk　は　y1>y2>・・・・>yn　のとき、ykを任意に並べ替えたものの中で最大になる。

こんな証明ではだめでしょうか。

回答No.1

ItachiMasamune

1987年の東大、理科前期大問5と同じ問題です。
一見問題は違いますが、両辺の2乗を展開し、Σyk^2＝Σzk^2ですので同じ問題です。

数学的帰納法で示します。
(1)n=2のとき、
(ア)y_1=z_1,y_2=z_2のときは明らか。
(イ)y_1=z_2,y_2=z_1のとき
Σ(k=1～2)x_k・y_k-Σ(k=1～2)x_k・z_k=(x_1-x_2)(y_1-y_2)≧0
(2)n=iのとき成り立つと仮定する。
(a)y_(i+1)=z_(i+1)のとき
省略
よってn=i+1のときも成り立つ。
(b)z_m=y_(i+1) (m≠i+1)のとき
Σ(k=1～i+1)x_k・z_k = x_1z_1 + … + x_mz_m + … + x_iz_i + x_(i+1)z_(i+1)
=x_1z_1 + … + x_mz_(i+1) + … + x_iz_i + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m
(前半のx_1z_1+…+x_mz_(i+1)+…x_iz_iに現れるzはyの1～iに対応している)
≦Σ(k=1～i)x_k・y_k + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m
≦Σ(k=1～i)x_k・y_k + x_(i+1)y_(i+1) - x_(i+1)y_(i+1) + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m
≦Σ(k=1～i+1)x_k・y_k - x_(i+1)y_(i+1) + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m
≦Σ(k=1～i+1)x_k・y_k - x_(i+1)z_m + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_(i+1)
≦Σ(k=1～i+1)x_k・y_k + (x_m - x_(i+1))・(z_m - z_(i+1))
≦Σ(k=1～i+1)x_k・y_k
よってn=i+1のときも成り立つ