線形写像、ランクの問題について説明お願いします。

質問

線形写像、ランク　の問題及び解答があるのですが、解答が理解できないので教えてください。

-----例題--------　

ｎ個の実数 a1, a2, ・・・、an を固定する。R^n のベクトル ｘ で、その成分 x1，x2，・・・、xn が方程式

　　　　　a1x1 + a2x2 + ・・・ + anxn = 0

をみたすようなものの全体を W とするとき、W の次元を決定せよ。

-----解答---------

写像　ｆ： R^ｎ → R を

　　　　　f (ベクトル x ) = f t (x1, x2, x3,..., xn) = a1x1 + ・・・ + anxn
(ftのtはf の転置行列の印）

によって定義すると、これは線形写像である。そして、W = Ker f に他ならない。
もしもすべての ai が ０ の場合は明らかに　W = R^n であるから、dim W = n である。　
もしも ai のうち１つでも ０ でないのがあると、写像 f は全射になるから、線形写像の基本定理から

　　　　　dim W + dim R = dim R^n = n

したがって

　　　　　dim W = n - 1

-------解答終わり-------

という例題解答があるのですが、なぜ　dim W = n - 1　となるのか、つまり、 なぜ　dim R = １　となるのかがわかりません。

説明をよろしくお願いします。

回答No.3

uuu-chan

R^3は三次元、R^2は二次元、Rは一次元です。

R^3の基底：(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)
R^2の基底：(1,0)(0,1)
Rの基底：(1)=1

回答No.2

noname#152422

> なぜ　dim R = １　となるのか

・1は実数
・任意の実数aに対して、a=ax1（一次結合）
・ax1=0ならばa=0（独立性）

したがって{1}はRの基底になる。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

次元定理ですね。

次元定理自体はほとんど直感的に自明なのですが、
証明はそれほど簡単ではないのでここで解説しません。

線形代数の入門書で、次元、ランク、次元定理あたりを
見てください。