数学の無限級数展開です

質問

以下の画像の式を展開するためにはどうすればよいでしょうか？

テイラー展開は使えますか？

数学ができる方お願い致します。

回答No.4

sunflower-san

添付画像を参考にしてください。(3/3)

回答No.3

sunflower-san

添付画像を参考にしてください。(2/3)

回答No.2

sunflower-san

添付画像を参考にしてください。(1/3)

回答No.1

spring135

S=Σ(k=1,∞)ke^(-αka)(e^αa-1)=(e^αa-1)Σ(k=1,∞)ke^(-αka)

p=αa

とおくと

S=(e^p-1)Σ(k=1,∞)ke^(-kp=(e^p-1)Σ(k=1,∞)[-de^(-kp)/dp]

=-(e^p-1)d[Σ(k=1,∞)e^(-kp)]/dp（Σと微分の順序交換）

=-(e^p-1)d(lim(k→∞){e^(-p)[(1-e^(-kp)]/[1-e^(-p)]})/dp（e^(-kp)は等比級数）

=-(e^p-1)d{e^(-p)/[1-e^(-p)]})/dp（p=αa>0を仮定）

=-(e^p-1)d{1/[e^p-1]}/dp（p=αa>0を仮定）

=-(e^p-1)(-e^p/(e^p-1)^2=e^p/(e^p-1)

=e^(αa)/(e^αa-1)

補足

回答ありがとうございます

私が計算したら
1+e^-x+e^-2x+e^-3x+.....
（x=αaとした）のような
初項１の無限等比級数になったのですが・・・