テイラー展開とべき級数展開の違いは何ですか？

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E9%96%A2%E6%95%B0

ずっとテイラー展開とべき級数展開は同じものであると思っていたのですが、
上記のページをみると
「第1種ベッセル関数はまた、X=0のまわりでのテイラー展開（非整数の に対しては、より一般にべき級数展開）によって定義することもできる。」
と書かれているのですが、
テイラー展開とべき級数展開ってどう違うのでしょうか？

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

結論から言うと，その記事の言葉の用法がマイナーで，
通常は（原点中心の）テイラー展開とべき級数展開は同じ意味で使われます．

その記事のその部分では，ベッセル関数の級数展開がαが非整数だと
テイラー展開になっていない，ということを注意したかったのだと思います．
しかし，現状では不正確な書き方になっていて，
　(1) 負の整数に対してもテイラー展開にならない．
　(2) 非整数べきの現れる級数を単にべき級数と呼ぶことは少ない．
という２点を考慮して，適当に直すべきです．

ちなみにその記事は，英語版の記事を和訳したものですが，英語版では
　(a) 該当部は単に Taylor series expansion となっている．
　(b) integer or non-integer のコメントは，この文でないところに入っている．
という状況になっています．
きっと和訳した人が (a) はマズイと思って補足したのでしょうが，
そのときに (b) を誤って取り入れてしまい，こんなことになったのだと思います．