次の条件を満たす関数を探しています

質問

次の条件を満たす２変数の関数f(x,y)を探しています。
どのような関数があるのでしょうか。
あるいは、関係を表す微分方程式はありますか。

f(x,y) + f(1-x,1-y) = 1 （0<=x,y<=1）
ただし、f(x,1/2)=x、f(1/2,y)=y

特定の値について、例えばxとyが共に1/2のときなどは関数値が計算できるのですが、
任意のxとyについてまだ計算できません。
シグモイド関数などは上記関数を満たすのでしょうか。

回答No.1

kiyos06 · ベストアンサー

0.1)f(x,y) +f(1-x, 1-y) =1
0.2)f(x,1/2) =x
0.3)f(1/2,y) =y
1.0)x =w +1/2, y =z +1/2とする。
1.1)f(w +1/2, z +1/2) +f(-w +1/2, -z +1/2) =1
1.2)f(w +1/2, 1/2) =w +1/2
1.3)f(1/2, z +1/2) =z +1/2
2.0)f(w +1/2, z +1/2) =g(w, z) +1/2とする。
2.1)g(w,z) +g(-w,-z) =0
2.2)g(w,0) =w
2.3)g(0,z) =z
3.1)g(w,z) =-g(-w,-z)
3.4)g:(2.2),(2.3)を満足する点対称関数

4)f =g(x -1/2, y -1/2) +1/2
4.1)gは(3.4)の関数

4.1.1)例g(w,z) =w +z
4.1.2)f(x,y) =x +y -1/2

参考URL：

http://chiebukuro.yahoo.co.jp/my/myspace_collection.php?writer=kiyos06

お礼

回答ありがとうございます。

式の導出手順について、参考にいたします。