2変数関数の2次偏導関数の意味付け

質問

1変数関数を微分するとグラフの傾きを，2回微分するとグラフの曲がり具合を表すので
2回微分を視覚的に捉えることが出来ます．
また，変数を時間に取ると，1回の微分は速度を，2回微分は加速度を表すということからも
意味付けが可能です．
同様に2変数関数になった場合の同じ変数での2次導関数の意味は感覚的に分かるのですが，
xで微分し，次にyで微分した場合，それがどういう意味を持つか直感的な意味付けをすることは出来ないものでしょうか．
つまり，f_{xy}(x,y) をどう理解したらよいか教えて下さい．

回答No.3

MrXu

Hessian に現れる一つのパラメーターくらいしか思いつきません．

既にお二人が解答していらっしゃいますが，
∂^2f/∂x^2 と ∂^2f/∂y^2 を止めて ∂^2f/∂x∂y だけ変化させてみると
ちょっと視覚的に捉えられるかも知れません．
∂^2f/∂x∂y はすなわちテーラー展開したときの xy の係数に関係があるのですから
定数項と一次の項がない f を考えて3次以降の項を0の近傍で無視したとすると
f=ax^2+bxy+cy^2 の b に当たる部分が ∂^2f/∂x∂y の本質だと考えられます．
つまり，f に xy の項がどれだけ影響しているかを表すのが ∂^2f/∂x∂y だと言えるのではないでしょうか．
とは言え，これは座標に依存する話で，
f=xy は，原点周りで回転させると f=(x^2-y^2)/2 と一致します．
なので，普遍的な形を表す値ではありません．

回答No.2

ddtddtddt

最初におおざっぱな書き方をするのを、お断りしておきます。

　最初に点(x，y)→(x＋dx，y)と独立変数をずらした時の、f(x，y)の増分を考えます。dxが微小であれば、

　　f(x＋dx，y)＝f(x，y)＋f_{x}(x，y)・dx　　　(1)

になると思えませんか？。これがx方向に偏微分可能という事です。

　では、(x，y)→(x＋dx，y＋dy)の場合は？。(1)を参照するとまず、

　　f(x＋dx，y＋dy)＝f(x，y＋dy)＋f_{x}(x，y＋dy)・dx　　　(2)

ですが、(2)のf(x，y＋dy)とf_{x}(x，y＋dy)についてもyに関して、同様な事ができるはずです。

　　f(x，y＋dy)＝f(x，y)＋f_{y}(x，y)・dy
　　f_{x}(x，y＋dy)＝f_{x}(x，y)＋f_{xy}(x，y)・dy

ですよね？(^^)。これらを(2)に代入すれば、

　　f(x＋dx，y＋dy)
　＝f(x，y)＋f_{x}(x，y)・dx＋f_{y}(x，y)・dy＋f_{xy}(x，y)・dxdy　 (3)

になると思えませんか？。(3)はいわば、(x，y)→(x，y＋dy)→(x＋dx，y＋dy)とずらした結果です。でも(x，y)→(x＋dx，y)→(x＋dx，y＋dy)も可能なはずです。この時に(3)に対応するものは、

　　f(x＋dx，y＋dy)
　＝f(x，y)＋f_{x}(x，y)・dx＋f_{y}(x，y)・dy＋f_{yx}(x，y)・dxdy　 (4)

と書けますが、f(x＋dx，y＋dy)の値は一つのはずなので、(3)＝(4)が必要です。よって、

　　f_{xy}＝f_{yx}　　　(5)

を導けます。つまり偏微分が順序交換可能である事を表す(5)は、「近付き方によらずfの値が一意に定まる」ための、局所的な必要条件を表します。多くの場合、十分条件にもなります。

回答No.1

kiyos06

>1変数関数を微分するとグラフの傾きを，2回微分するとグラフの曲がり具合を表す
1)dy/dx =c や d^2y/dx^2 =c を微小範囲で見ている。

>xで微分し，次にyで微分した場合
2)∂^2u/∂x∂y =c は何を表している?
3)u =cxy
3.1)平面
3.2)大きめに見ると双曲面