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{2x√(x^2+y^2)+x}dx + {-2y√(x^2+y^2)+y}dy = 0 この微分方程式が分かりません。 わかる方教えてください！

数学のフーリエ解析についての質問です。 関数f（t）のフーリエ変換をF（ω）＝∫[-∞→∞]f（t）exp（-iωt）dtと定義する。 関数F（ω）のフーリエ逆変換をf（t）とするとき、次の2つの関数のフーリエ逆変換を求めよ。 （1）F（2ω） （2）F（ω-1） 解答、解説がなく困っているので、どなたか分かる方がいらっしゃれば教えていただけると幸いです。 よろしくお願いします。

計算方法を忘れてしまったため、途中式と使う公式などを教えていただければ幸いです🙇‍♀️

この２階線形微分方程式の解き方と答えを詳しく教えてください！

　今年（2018年）で52歳になる、数学が趣味の会社員です。 　ISBN4-563-00561-4「技術者のための高等数学－１　常微分方程式　原書第５版」 （現在、市販されている原書第８版より一つ古い版）の 164頁に載っている 8番 下記の問題がどうしても解けません。 次の微分方程式の解の基底を求めよ。プロベニウスの方法により得られた級数が よく知られた関数の展開であることを確かめよ。 8. xy"-y=0 　基底の一つは、 y1=c0*Σ(m=1～∞)[x^m/((m-1)!*m!)] までは分かったのですが、もう一つの基底、 y2=k*y1*log(x)+(x^r2)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m] が計算できません。 　y1を求めるまでの過程ですが、下記のとおりです。 x*y"-y=0 … (1) 　解はy=(x^r)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m]の形になるので、 y=(x^r)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m]=Σ(m=0～∞)[Cm*x^(m+r)] y'=Σ(m=0～∞)[(m+r)*Cm*x^(m+r-1)] y"=Σ(m=0～∞)[(m+r)*(m+r-1)*Cm*x^(m+r-2)] 　これらを(1)に代入すると、 x*y"-y =Σ(m=0～∞)[(m+r)*(m+r-1)*Cm*x^(m+r-1)] -Σ(m=0～∞)[Cm*x^(m+r)]=0 … (2) 　x^(r-1)の係数の和を0とおくと、 r*(r-1)*c0=0 　C0<>0なので、 r*(r-1)=0 r=r1,r2 r1=1, r2=0 　r=r1=1 のとき (2)にr=r1=1を代入すると、 Σ(m=0～∞)[(m+1)*m*Cm*x^m]-Σ(m=0～∞)[Cm*x^(m+1)]=0 … (3) 　x^sの係数の和を0とおくと、 (s+2)*(s+1)*c[s+1]-Cs=0 （c[s+1]はcの右下に小さく「s+1」です） c[s+1]=Cs/((s+1)*(s+2)) … (3) 　(3)でs=0のときは c1=c0/2=c0/2! 　(3)でs=1のときは c2=c1/(2*3)=c0/(2!*3!) 　(3)でs=2のときは c3=c2/(3*4)=c0/(3!*4!) 　y1は y1=(x^r1)*Σ(m=0～∞)[Cm*x^m] なので、 y1=(x^1)*Σ(m=0～∞)[(c0*x^m)/((m-1)!*m!)] =c0*Σ(m=1～∞)[x^m/((m-1)!*m!)] 　ここで力尽きました。 　「よく知られた関数の展開であることを確かめよ。」とあるので、そもそも この級数が初等関数の組み合わせになるのでしょうか ? 　y1が正しいかどうかを検算した結果は、以下のとおりです。 y1=c0*Σ(m=1～∞)[x^m/((m-1)!*m!)] y1'=c0*Σ(m=1～∞)[m*x^(m-1)/((m-1)!*m!)] =c0*Σ(m=1～∞)[x^(m-1)/((m-1)!^2)] y1"=c0*Σ(m=2～∞)[(m-1)*x^(m-2)/((m-1)!^2)] =c0*Σ(m=2～∞)[x^(m-2)/((m-2)!*(m-1)!] =c0*Σ(m=1～∞)[x^(m-1)/((m-1)!*m!] = y1/x x*y1-y1=x*y1/x-y1=0 　0になるので正しいと思います。 　前出の「技術者のための高等数学－１　常微分方程式　原書第５版」の全問題 完全制覇を目指して 2年ぐらい前から独学で勉強しています。 　4章に入って内容が難しくなって、私の力ではそろそろ限界かもと感じるように なりました。 　本には解き方はおろか、模範解答もありません。 　周りに聞ける人もいません。数学が得意な方、どうかご教示をお願いします。