偏微分（初学者）

質問

方程式Ｆ（ｘ，ｙ）＝０によってｘの陰関数ｙ＝ｆ（ｘ）が定められているとき、（写真の式）が書かれています。（読みずらいので、紙に書きました）
写真の式はどのようにかんがえているのでしょうか？
そもそもＦ（ｘ，ｙ）という２変数関数では普通にｘで微分する（偏微分しかできない）ということは出来ないようにおもうのですが、どうなっているのでしょうか?

回答No.4

uyama33 · ベストアンサー

ｄＦｘ/ｄｘ＝Ｆｘｘかける１＋Ｆｘｙ（ｄｙ/ｄｘ）のような気がするのですが、なぜ、後半部分はＦｙｙかける（ｄｙ/ｄｘ）なのでしょうか？

理由は、ミスプリントです。
著者や出版社に教えてあげてください。

普通は、５０箇所くらいのミスプリントがあります。
ミスプリントの一覧を作って、著者に連絡すると、改定したときに、
新しい本をもらえることもあります。

頑張ってください。

補足

ありがとうございました。

回答No.3

uyama33

読んでいる本の名前と出版社、著者
読んでいるページ
を教えて下さい。

補足

実教出版新版数学シリーズ微分積分II著者岡本和夫の３章偏微分の２編偏微分の応用のP117の陰関数の極値の１０行目にｄＦｘ/ｄｘ＝Ｆｘｘ＋Ｆyｙ（ｄｙ/ｄｘ）とあります。

回答No.2

f272

> なぜ、後半部分はＦｙｙかける（ｄｙ/ｄｘ）なのでしょうか？

それは，あなたの書き写したと思われる式が間違っているからです。

補足

教科書の本文そのままなのですが、教科書が間違っているのでしょうか？
確かに、Ｆｙｙと書かれています。

回答No.1

f272

一般的にxとyの2変数関数G(x,y)があって，xとyがパラメタtであらわされているとする。
そしてxもyもtで微分可能で，かつ，Gが全微分可能であれば，Gは微分可能なtの1変数関数になって
dG/dt=(∂G/∂x)(dx/dt)+(∂G/∂y)(dy/dt)
となる。これが合成関数の微分公式です。
あなたの例は，上の式でG=Fxでt=xの場合ですね。

補足

解答どうも有難うございます。
教科書の記述にあるように、Ｆ（ｘ、ｙ）＝０において、ｙ＝ｆ（ｘ）という関係が成り立つ(陰関数が存在する）ので、ＦｘやＦｙが普通にｘで微分できるというのは納得しましたが、
★dG/dt=(∂G/∂x)(dx/dt)+(∂G/∂y)(dy/dt)という公式は「まず、Ｇをｘで偏微分し、ｘをｔで普通に微分する。また、Ｇをもう1つのｙで偏微分し、そのｙをｔで普通に微分する。」です。
ｄＦｘ/ｄｘ＝Ｆｘｘかける１＋Ｆｘｙ（ｄｙ/ｄｘ）のような気がするのですが、なぜ、後半部分はＦｙｙかける（ｄｙ/ｄｘ）なのでしょうか？