高校数学、論理

質問

cosx=kcosy(０≦ｘ≦π、０≦ｙ≦π、ｋ＞１）(1)のとき、ｄｙ／ｄｘをｘの式で表せ。

(1)の両辺をｘで微分すると、-sinx=(-ksiny)ｄｙ／ｄｘ
条件からsiny≧０、ｋ＞１ゆえに、ksiny=k√（1-cos^2y)=√（k^2-cos^2x)（※）
よって、dy／ｄｘ＝sinx／√ｋ＾２－cos^2x
※ｋ＾２cos^2y=cos^2x
（疑問）
（１）※の部分について、cosx=kcosy⇒ｋ＾２cos^2y=cos^2xですが、その逆は成り立ちません。
同値性は保証できるのでしょうか?
（２）また、問題集には※の部分が枠外に書かれているだけなのですが、同値性の確認は必要ないということなのでしょうか?

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

まずは落ち着きなはれ。
　平方根の中身をいじくる際に「cos^2y（って、(cos y)^2のことだと思うが、酷い書き方だな）が(k cos x)^2と等しい」ということを使いたいだけなんですよ。だから必要なのは、「cos y = k cos xのとき、(cos y)^2 = (k cos x)^2 か？」という事だけであり、これは明らかに正しい。（なので、「(cos y)^2 = (k cos x)^2のとき、cos y = k cos xか？」なんて話とは何の関係もない。）

お礼

ありがとうございました

回答No.3

Tacosan

あれ? なんで sin の方の同値性が理解できて cos の方の同値性が理解できないんだろう....

回答No.2

Tacosan

cosx=kcosy⇒ｋ＾２cos^2y=cos^2x の同値性はいらないんだけどね....

でも, 実はもう 1つ考えなきゃならない同値性があることに気付いてる?

補足

siny＝±√１－cos^2yの部分でしょうか?（→siny>0より、－の方はダメ）ここは同値になっています。
cosx=kcosy⇒ｋ＾２cos^2y=cos^2x の同値性はいらないというのがわかりません。どうしてなのですか?

回答No.1

Tacosan

自分で調べてみてください.

補足

回答ありがとうございます。自分でも今までやってきた問題集ではどうだったか思いつく限り見直してみました。質問にお答えいただければ嬉しいです。

自分の考えを書きます。
cosx=kcosy⇒ｋ＾２cos^2y=cos^2xは成り立つので、cosx=kcosyを成り立たせるようなｘ、ｙ、ｋを選べば、ｋ＾２cos^2y=cos^2xも成り立つ。
そして、それらの組はksiny=k√（1-cos^2y)=√（k^2-cos^2x)（※）を満たすから、
dy／ｄｘ＝sinx／√（ｋ＾２－cos^2x）を満たす。
得られたdy／ｄｘ＝sinx／√（ｋ＾２－cos^2x）は元々の条件cosx=kcosyから得られたものであるかどうかはわからない。
（ｆ‘（ｘ）＝２ｘならばｆ（ｘ）＝ｘ＾２＋Cから得られたものというように、1つに絞られないから）
よって、同値性の保証は不要。
自分は数学の答案はすべて同値性が保証されていなくてはならないと思っていたのですが、それはあやまりなのでしょうか？（どのような時に同値性を保証しなくてはならないのかの判断がつきません。教えてください）