考え方あってますか？

質問

「０≦x≦２π、０≦y≦２πのとき cosx-siny=1かつcosy+sinx=-√３を解け。」という問題を解いたのですが考え方があってるか見てください。特に確かめてほしいのは⇔や⇒の使い方があってるかとか本当に⇔や⇒でいいのかです。
解答は

cosy+sinx=-√３ 　　　　　　　（cosx-siny）^2=1
cosy+sinx=-√３・・・(1) ⇒ （cosy+sinx）^2=3・・・(2)⇔sin(x-y)=1・・・(3)⇔x-y=2/π,-2/3π・・・(4)
(2)⇔(3)⇔(4)（これは(2)(3)(4)を満たすx,yの組み合わせの集合は全て同じ。という意味ですよね？）だから(1)⇒(4)。
(1)⇒(4)の意味するところは(1)が成り立てば必ず(4)が成り立つということ。
集合の包括関係で言えば０≦x≦２π、０≦y≦２πの範囲で(4)を満たすx,yの組み合わせの集合の中に(1)を満たすx,yの組み合わせの集合があるということだから
(4)と同値のx=y+2/π,y-2/3π・・(5)は(1)でも成り立っている？
だからあとは(5)を(1)に代入して
(1)⇔

cos(y+π/2 , -3/2π)-siny = 1
cosy+sin(y+π/2,-3/2π)=-√３cosy+cosy=-√３ 　⇔

-siny-siny=1
cosy+cosy=-√３

これらを同時に満たすyはy=7/6π。(5)からx=5/3π(x,y)=(5/3π,7/6π)

考え方あってますか？

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この質問に補足する.

回答No.3

kacchann

(2)と(3)の関係を
(2)->(3)とすれば
解答全体の論理展開は問題ないと思う。たぶん。

ようするに
「(1)->(5)」によって必要条件(5)を導き出し、
今度はそれを利用して、
スタート地点に戻って
問題を解く。
つまり
(1)⇔「(1)かつ(5)」
として問題を解くわけね。
あってるとおもう。たぶん。
---

ちなみにこの問題自体については
解答がパターン化されていて、
解法網羅型の参考書の例題によく載ってるとおもうけど、
方針としては
初めの式はxとyが混在してるので、
これを分離する方針をとる。
初めの2式を
cosx=・・・
sinx=・・・
の形にし、
次に有名式
(cosx)^1+(sinx)^1=1
に代入して解いていくのね。

この解法でも解いてみて、
同じように、
必要性、十分性をかんがえてみよう。
(これも結局、まず必要条件をもとめて、
つぎにスタート地点に返って
問題を解きなおす、
というやり方になると思う)

回答No.2

Tacosan

なお, 「(2) と (3) の関係もこのままでは (2) から (3) への一方通行」というのは, (2) から 2つの式ができるはずなのに (3) では 1つしか挙げていないからです. (3) として 2つとも上げていれば必要十分になると思います.

回答No.1

Tacosan

とりあえず (4) の 2/π や -2/3π は明らかに違う.

あと, (2) と (3) の関係もこのままでは (2) から (3) への一方通行. (3) を満たす x, y は必ず (2) を満たしますか?

お礼

(3)⇒（２）は成り立ちませんね＞＜
（４）のは分母と分子が逆ですね・・・
ご指摘ありがとうございます！！