大学受験に向けて勉強中です。

質問

大学受験に向けて勉強中です。
数Aの問題です。

鋭角三角形ABCにおいてAB＝8とする。辺ACを1:2に内分する点をDとし辺BCを3:2に内分する点をEとする。この時二点D、Eを通る直線Lと二点ABを通る直線の交点をPとするときAP＝□である。
また直線Lと三角形ABCの外接円との2つの交点のうちPに近い方の点をQとし、他の点をRとする。この時PQ＝3ならばQR＝□である。
この2個の四角形(□)に当てはまる数字を求めよ。

メネラウスの定理使うような気がしたのですがよくわかりません。
説明と一緒に回答お願いします。

回答No.1

muturajcp

BEを2:1に内分する点をFとする
|CD|:|CA|=|CE|:|CF|=2:3
∠DCE=∠ACF
だから
△CDEと△CAFは相似だから
DEとAFは平行だから
AFとEPは平行だから
同位角が等しいから
∠AFB=∠PEB
∠BAF=∠PBE
∠ABF=∠PBEだから
△BAFと△BPEは相似だから
|BA|:|AP|=|BF|:|FE|=2:1
|AP|=|AB|/2=8/2=4

△ABCの外接円に内接する
□ABRQの内角と対角の外角が等しいから
∠RBP=∠AQP
∠BRP=∠PAQ
∠RPB=∠APQだから
△RPBと△APQは相似だから
|PR|:|PB|=|PA|:|PQ|
|QR|
=|PB||PA|/|PQ|-|PQ|
=12*4/3-3
=13