チェバ⇒メネラウスの証明

質問

チェバとメネラウスが同値である事を証明しようと思ったのですが、「チェバ⇒メネラウス」が証明できません。つまり、メネラウスの定理

△ABCで
(AR/RB)*(BP/PC)*(CQ/QA)=1
ただし、R,P,Qはそれぞれ線分AB、半直線BC、線分CA上にあり、三点R,Q,Pは同一直線上にある

をチェバを使って証明したいのです。
APをつなげて、BQの延長とAPの交点をSとしてやってみたのですがあと一歩のところでうまくいきません。

ちなみに、チェバ、メネラウス、「メネラウス⇒チェバ」のそれぞれの証明は大丈夫です。図形の証明を説明していただくのは大変と思いますが、ヒントがあれば教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

qntmphscs · ベストアンサー

平行線を使わない方法です。これならチェバの定理だけで証明できます。
面積比＝線分比を使います。（説明はしっぽに）

三角形ABPにチェバの定理を使って

(a/b)*{c-d)/d}*(x/y)=1　(1)

面積をそれぞれ△ABQ=Ｓ,△CBQ=Ｔ,△PQC=Ｕと置いて

Ｓ:(Ｔ+Ｕ)=y:x　(2)

(Ｔ+Ｕ):Ｔ=c:(c-d)　(3)

Ｔ:Ｓ=e:f　(4)

(2),(3)からＳ:Ｔを作り、(1)を使ってx,yを消します。それから(4)と等置すればメネラウスが出ます。

面積比＝線分比の意味：
(2)を例に説明します。
三角形の面積の比は底辺と高さの積の比ですから、(2)の場合は底辺を辺BQと考えます。すると底辺が共通なので面積比は高さの比になります。
２つの頂点A,Pからそれぞれ直線BQに垂線を下ろすと２辺AS,PSを斜辺とする相似な直角三角形の組ができますから、前述の高さの比が２辺AS,PSの比に置き換えられます。これより(2)が導かれます。

お礼

すごく気持ちがすっきりしました。面積比を使うところが、いかにもチェバを使っている感じがしていいですね。2通りも証明を見せていただいて、ありがとうございました。勉強になりました!!

回答No.2

qntmphscs

確認しました。そのやり方を押し進めればできます。
点Cを通る、BSに平行な直線を追加して、APとの交点をTとして下さい。

三角形ABPにチェバの定理。それに
三角形AQS∽三角形ACTと三角形BSP∽三角形CTPを使います。

必要な式：
AQ:QC=AS:ST
ST:TP=BC:CP

概略：
(AR/RB)*(BP/PC)*(CQ/QA)=(a/b)*(c/d)*(e/f)と略記します。
a～fは長さで、この順で各線分AR～QAに対応します。

三角形ABPにチェバの定理を使って
(a/b)*{(c-d)/d}*(x/y)=1　(x=PS,y=SA)

からx/yが作れます。これを

e:f={x*(ST/SP)}:y
および
ST:SP=(c-d):c
とぶつければe/fが出ます。

お礼

納得です!ありがとうございました。解答がすごくすっきり書いてあったので分かりやすかったです。
メネラウスの証明のときに平行線を使って解くので、平行線を使わずにチェバだけで…と思って、△ABCと△ACPでチェバを使って立てた2つの式の商から近い式は得られたのですがそこから進みませんでした。
やはり、平行線を使うのがベストなのでしょうか。

回答No.1

wayne_g

AP,BQ,CRの交点をoとし
AR:RB=s:(1-s),BP:PC=t:(1-t),CQ:QA=u:(1-U)とおいて
ベクトルBOを求めてはいかがですか？

お礼

アドバイスありがとうございます。
>AP,BQ,CRの交点をoとし
というのは三直線が一点Oで交わるということでしょうか？交わらない気がするのですが。