数学Bの問題が分かりません！

質問

ベクトルa,ベクトルbに対し、ベクトルOP=ベクトルa+2ベクトルb,
ベクトルOQ=-2ベクトルa+ベクトルb,ベクトルOR=4ベクトルa+3ベクトルb
とするとき、３点P Q Rは一直線上にあることを証明せよ。

△ABCにおいて辺ABの中点をP、辺AC を３：２に内分する点をQ、
辺BCを３：２に外分する点をRとする。
このとき３点P Q Rは一直線上にあることを示せ。

この２問がどうしてもとけません！
意味が分からないです。

よろしければ、解説つきで説明していただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

ベクトル記号は省略します。
点Ｐ、Ｑ、Ｒが一直線上にあるということは、
ＰＱ＝ａＰＲ　（ａは実数）
と表わされるということです。

一問目

ＰＱ＝ＯＱ－ＯＰ
　　＝－３ａーｂ
ＰＲ＝ＯＲ－ＯＰ
　　＝３ａ＋ｂ
よって
ＰＱ＝－ＰＲ　なので点Ｐ，Ｑ，Ｒは一直線上にあります。

二問目
　ＡＰ＝ＡＢ／２
　ＡＱ＝３ＡＣ／５
なので、
　ＰＱ＝ＡＱ－ＡＰ
　　　＝－ＡＢ／２＋３ＡＣ／５

また、
　ＡＲ＝ＡＢ＋ＢＲ
　　　＝ＡＢ＋３ＢＣ
　　　＝ＡＢ＋３（ＡＣ－ＡＢ）
　　　＝－２ＡＢ＋３ＡＣ
なので
　ＰＲ＝ＡＲ－ＡＰ
　　　＝－５ＡＢ／２＋３ＡＣ
よって
　ＰＲ＝５ＰＱ
となり、点Ｐ，Ｑ，Ｒは一直線上にあります。

回答No.4

yyssaa

第1問
＞ベクトルを↑で表します。
QP↑=OP↑-OQ↑=a↑+2b↑-(-2a↑+b↑)=3a↑+b↑
QR↑=OR↑-OQ↑=4a↑+3b↑-(-2a↑+b↑)=6a↑+2b↑=2QP↑
すなわちQP↑の大きさを2倍にしたベクトルがQR↑なので、
3点Q P Rは一直線上にある。
第2問
△BCQの面積をSとすると、△CRQの面積は2S、
△ABQの面積=△BCQの面積*(3/2)=3S/2、
△APQの面積=△BPQの面積=△ABQの面積/2=3S/4
△AQRの面積=△CRQの面積*(3/2)=3S
△APQの面積＋△AQRの面積=3S/4+3S=15S/4
△ABRの面積=△ABQの面積+△BCQの面積+△CRQの面積+△AQRの面積
=3S/2+S+2S+3S=3S/2+6S=15S/2=2*(△APQの面積＋△AQRの面積)
以上より、△APQの面積＋△AQRの面積は△ABRの面積の1/2となって
おり、AP=BPより、直線PRが△ABRの面積を二等分することから、
点Qは直線PR上にあるといえる。

回答No.2

asuncion

設問2
原点をOとする。このとき、
OP→=(OA→+OB→)/2 …… (1)
OQ→=(3OC→+2OA→)/5 …… (2)
OR→=3OC→-2OB→ …… (3)

(1)×4より、
4OP→=2OA→+2OB→ …… (4)
(3)+(4)より、
4OP→+OR→=3OC→+2OA→=5OQ→
OQ→=(4OP→+OR→)/(1+4) より、点Qは線分PRを1:4に内分することがわかる。
よって、点P,Q,Rは一直線上にある。

回答No.1

asuncion

とりあえず設問1
PQ→=OQ→-OP→=(-2a→+b→)-(a→+2b→)=-3a→-b→
PR→=OR→-OP→=(4a→+3b→)-(a→+2b→)=3a→+b→
よって、PR→=-PQ→
このことから、点Rは、点Pをはさんで点Qのちょうど反対側にあることがわかる。
よって、点P,Q,Rは一直線上にある。

厳密な証明かどうかはわかりません。