(Z,+,×,<)と同型になる環を示す。

質問

任意の順序環(M,+,×,<)は(Z,+,×,<)と同型な部分環をもつことを示せ。という問題です。Mに含まれるLをもってきて,(L,+,×,<)と(Z,+,×,<)が同型となることを示していきます。ZからMへの関数を考えて、それが全単射であることと順序が保存されることが順序同型の定義だと思いますが、構造(M,+,×,<)が一体どういったものなのかという根本的なところのイメージがわからなく、証明の方針がつかない状態です。どなたか回答お願いします。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

graphaffineさんの言われるように、漠然としています。また、Mが単位元を持つことが前提です。

しかし、考え方として、Mの部分環でZと同型なものを具体的に構成して示すことが必要です。順序環Mは順序加群ですから、有限位数ではありません。そこで、Mの乗法の単位元１と加法の単位元０の２元から生成されるMの加群Nを考えます。このNはMの部分環でもあります。環同型写像としては０→０、１→１を考えればよいような気がします。これは、環同型かつ、順序同型を満たしているかどうか確認する必要があります。

お礼

ありがとうございます。具体的な証明の手順がイメージできなかったので大変参考になりました。解けるように頑張ってみます。

回答No.1

graphaffine

全体的に漠然としている。ただ、順序環と言われてもわからないのですが。
Zを含むことを言いたいのだったら、Ｍが可換で、単位元を持つことは前提ですか。それから、同型とは、環同型且、順序同型のことですか。

お礼

ありがとうございました。Mは可換で、単位元を持つことは前提です。同型も環同型かつ順序同型のことです。もう一人の方が言ってくれたようなことでした。解けるように頑張ってみます。