行列

質問

実対称行列を対角化する直行行列を求めよ。という下の行列の一般的な解き方を教えてください。固有値を出して固有ベクトルを出してからどうすれば？
1 -2 2
-2 1 -2
2 -2 1

回答No.2

bilateraria165 · ベストアンサー

それでは正規直交化にはシュミットの直交化を使います。

V1=(1,1,0) V2=(0,1,1) V3=(1,-1,1)
としたときに正規直交化ベクトル U1,U2,U3は次のように求めます。
まず、
U1=1/｜V1｜　(｜V1｜はV1の絶対値です)
ここでV'2というベクトルを考えて
V'2=V2-(V2,U1)*U1　((V2,U1)はV2とU1の内積です)
とします。すると、
U2=V'2/｜V'2｜
次にV'3というベクトルを考えて
V'3=V3-(V3,U1)*U1-(V3,U2)*U2
とするので、
U3=V'3/｜V'3｜
以上によってU1,U2,U3が求められます。実際の計算はお任せします。最後に、
[U1,U2,U3]
という行列を作ればそれが求める直交行列になります。

お礼

遅くなってすいません。細かくありがとうございました。

回答No.1

bilateraria165

固有値と固有ベクトルは出されているんですね。
その後の手順としては

1.各固有空間の基を正規直交化
2.1.で出てきた正規直交化ベクトルを並べた行列を作る。
・・・こうして得られた行列が直交行列です。
正規直交化までをさらっと計算してみましたが、それ自体はさほど難しくないと思われます。

お礼

ありがとうございます。
固有値は-1,5
固有ベクトルは(1,1,0)(0,1,1)(1,-1.1)
ですよね？
正規直行化のやり方がわからないんです。。。

補足

固有値は-1,5
固有ベクトルは(1,1,0)(0,1,1)(1,-1.1)
ですよね？
正規直行化のやり方がわからないんです。。。