同型でないことを示す問題です。

質問

正の有理数全体が乗法に関してなす群をＧ１とします。
また、有理数の加法群をＧ２とします。
Ｇ１とＧ２は群として同型でないことを示す問題です。

Ｇ１とＧ２が同型であると仮定して、矛盾が生じることで示そうと考えたのですが、まったくわかりませんでした。
どうやって解けばよろしいのでしょうか。

回答No.7

muturajcp

G2を有理数全体の加法群,G1を正有理数全体の乗法群とするとG1とG2は同型でないの証明
f:G2→G1を同型写像と仮定するとf(1)は正有理数だから
f(1)=a/b,aとbは互いに素な自然数が存在する。
a=Πa_i^{k(i)}をaの素因子分解(a_iはaの素因数,k(i)はa_iの冪)とする
n>max{k(i)} aの素因数の冪の最大値より大きい自然数nが存在する
f(1/n)=c/d,cとdは互いに素な自然数が存在する
c=Πc_iをcの素因子分解とする。
a/b=f(1)=f(n*(1/n))=f(1/n)^n=c^n/d^nとなるからad^n=bc^nとなる
c^nはad^nの約数c^nとd^nは互いに素だからc^nはaの約数となる
c_j=a_iとなるa_iがありc_j^n=a_i^n≦a_i^{k(i)}となりn>max{k(i)}に矛盾するから
f:G2→G1同型写像は存在しない
G1とG2は同型でない

回答No.6

Tacosan

厳密にいえば「存在するとは必ずしもいえません」では不足で「うまい a に対しては存在しない」ことを示さないといけないんですが＞#4, それは実質的に #3 と同じになるような気がする.
ちなみに #3 では f: G2→G1 が同型写像としてるから, 確実なのは「f(0)=1」だけですな. f(1/2) = 1/2 って, どこから出てきたんだか.
で f(1) = a とでも置いて #3 のようにゴニョゴニョして, #4 の話と結びつければ OK.

回答No.5

koko_u_

>f（1）＝ｆ（1/2＋1/2）＝ｆ（1/2）×ｆ（1/2）＝1/2×1/2＝1/4
>f（1/2）＝ｆ（1/4＋1/4）＝ｆ（1/4）×ｆ（1/4）＝1/4×1/4＝1/16
>f（1/3）＝ｆ（1/6＋1/6）＝ｆ（1/6）×ｆ（1/6）＝1/6×1/6＝1/36
> になると思います。

1 行目で f(1/2) = 1/2 としながら、2 行目で f(1/2) = 1/16 これ何如に。
そもそも私はヒントを出したつもりなので、そのまま回答されても困る。

回答No.4

hiccup

任意の a∈G2 について b+b = a を満たす b が G2 に存在します。これに対して、a∈G1 について b*b = a を満たす b が G1 に存在するとは必ずしもいえません。
これは代数構造が異なるということでしょう。

もしや、先の回答とかぶっているのか？

回答No.3

koko_u_

同型 f : G2 -> G1 があったとしましょう。

f(1) は何処に移るでしょうか。
f(1/2) は？
f(1/3) は？...

補足

f（1）＝ｆ（1/2＋1/2）＝ｆ（1/2）×ｆ（1/2）＝1/2×1/2＝1/4
f（1/2）＝ｆ（1/4＋1/4）＝ｆ（1/4）×ｆ（1/4）＝1/4×1/4＝1/16
f（1/3）＝ｆ（1/6＋1/6）＝ｆ（1/6）×ｆ（1/6）＝1/6×1/6＝1/36
になると思います。

回答No.2

arrysthmia

訂正： 済みません。「正の」が付いてました。G1 云々は、チョンボです。

回答No.1

arrysthmia

有理数全体は、乗法に関して群をなしません。
G1 は、「0 を除く有理数が乗法に関してなす群」の間違いでしょう。

ヒント： 有限部分群の有無で区別しては、どうですか？