自然数は減法について閉じている？

質問

数学の勉強をしていて教材に下記のように書いてあったので疑問に思いました。
Ａ．自然数は加法と乗法について閉じている。
Ｂ．整数は加法、減法、乗法について閉じている。
整数全体についてＢが言えるならば、整数の一部である自然数も加法、減法、乗法について閉じていると言えるのではないでしょうか。
しかし、現実にはＡが正しく減法については閉じていません。
それともＢを厳密に言うと「整数は加法、減法、乗法について閉じている。ただし整数が自然数の場合はこの限りでない。」ということなのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

noname#130082 · ベストアンサー

>整数全体についてＢが言えるならば、整数の一部である自然数も加法、減法、乗法について閉じていると言えるのではないでしょうか。
演算に関して閉じている、という言葉は個々の数の性質というより、数体系全体の性質です。数学をやっていると、うっかり、部分集合も元の集合と同じ性質を持っている、と勘違いしやすいのですが、そうはなりません。

考え方を逆にしてみます。
自然数では減法に閉じていないので、減法にも閉じることができるように自然数を「拡大して」整数を作った、と考えてはどうでしょう？

お礼

ありがとうございます。
１．動物には目と鼻がある。
２．生物には目と鼻と口がある。
動物を生物の一部と考えれば、１と２から動物には口があることになると思います。
これと同じように考えると質問のようになると思いましたが、やり取りの中で勘違いが分かりました。
正しくは次のとおりです。
Ａ．自然数全体の集合は加法と乗法について閉じている。
Ｂ．整数全体の集合は加法、減法、乗法について閉じている。
仰るとおり全体の集合であることが抜けておりました。
納得いたしました。

回答No.5

arrysthmia

＞「整数は加法、減法、乗法について閉じている。ただし整数が自然数の場合はこの限りでない。」
＞ ということなのでしょうか。

整数と整数の加法、減法、乗法の結果は、値が整数となる。
整数が自然数の場合も、値が整数となることに変わりはない。
ただし、自然数と自然数の減法の結果が自然数になるかというと、
そうでない場合がある。１－２ などがその例。
このことを、「自然数は減法について閉じていない。」と言う。

お礼

ありがとうございます。
説明がうまくできていなかったようです。申し訳ありません。
自然数が減法について閉じていないということは分かっていました。
１．動物には目と鼻がある。
２．生物には目と鼻と口がある。
動物を生物の一部と考えれば、１と２から動物には口があることになると思います。
これと同じように考えると質問のようになると思いましたが、やり取りの中で勘違いが分かりました。
正しくは次のとおりです。
Ａ．自然数全体の集合は加法と乗法について閉じている。
Ｂ．整数全体の集合は加法、減法、乗法について閉じている。
全体の集合であることが抜けておりました。
納得いたしました。

回答No.3

noname#101199

整数の一部である自然数の方が整数よりも小さいので、自然数が小さく閉じていると考える方が個人的には自然な気がしますが…。

・自然数（1,2,3,4,5,…）
２つの自然数m,nがあります。
このmとnを足したm+nは自然数です（例えば1+5=6で、6は自然数）。
これを自然数は加法に閉じているといいます。
（つまり、自然数+自然数は自然数になるということ）
同様にm・n∈Nですから、乗法に閉じています。
（自然数×自然数も自然数になる）
つまり、「m,n∈N　⇒ m+n,mn∈N」だから、自然数は加法と乗法にとじているわけです。

こう考えると、自然数ー自然数は必ずしも自然数にはなりませんから（たとえば1-2=-1の-1は自然数ではない）、自然数は減法には閉じていません。
つまり「自然数だけの世界で考えると、小さい数から大きい数を引くことができない」のです。

これを拡張したのが整数です。（0,-1,-2,-3,…も考える）
当然ながら、整数ー整数＝整数なので減法に閉じています。

さらに比などを考えていくことで、有利数、実数、と拡張されていきます。

お礼

ありがとうございます。
説明がうまくできていなかったようです。申し訳ありません。
自然数が減法について閉じていないということは分かっていました。
１．動物には目と鼻がある。
２．生物には目と鼻と口がある。
動物を生物の一部と考えれば、１と２から動物には口があることになると思います。
これと同じように考えると質問のようになると思いましたが、やり取りの中で勘違いが分かりました。
正しくは次のとおりです。
Ａ．自然数全体の集合は加法と乗法について閉じている。
Ｂ．整数全体の集合は加法、減法、乗法について閉じている。
全体の集合であることが抜けておりました。
納得いたしました。

回答No.2

R_Earl

> 整数全体についてＢが言えるならば、整数の一部である自然数も加法、減法、乗法について閉じていると言えるのではないでしょうか。

整数全体があって「ようやく」閉じるのですよね。
そこから一部削ってしまうと成り立たなくなってもしかたないと
私は思います。

数を-1, 0, 1, 2, 3に限定した場合、
これも加法・減法・乗法について閉じていませんよね。
この中には、例えば2 + 2の計算結果である4が含まれていないからです。

今回の場合、「自然数 - 自然数 = 負の整数」となるケースが存在するので、
自然数だけでは減法について閉じていません。

> それともＢを厳密に言うと「整数は加法、減法、乗法について閉じている。ただし整数が自然数の場合はこの限りでない。」ということなのでしょうか。

というより、

ある集合Xで加法・減法・乗法について閉じていたとしても、
Xの部分集合が加法・減法・乗法について閉じているとは限らない

ということだと思います。

お礼

ありがとうございます。
説明がうまくできていなかったようです。申し訳ありません。
自然数が減法について閉じていないということは分かっていました。
１．動物には目と鼻がある。
２．生物には目と鼻と口がある。
動物を生物の一部と考えれば、１と２から動物には口があることになると思います。
これと同じように考えると質問のようになると思いましたが、やり取りの中で勘違いが分かりました。
正しくは次のとおりです。
Ａ．自然数全体の集合は加法と乗法について閉じている。
Ｂ．整数全体の集合は加法、減法、乗法について閉じている。
全体の集合であることが抜けておりました。
納得いたしました。

回答No.1

koko_u_u

>整数全体についてＢが言えるならば、整数の一部である自然数も加法、
>減法、乗法について閉じていると言えるのではないでしょうか。
いいえ。

減法について閉じているとは、すなわち整数の集合を Z とした時、写像

minus : Z x Z -> Z
( minus(m, n) = m-n )

が「定義できる」ということです。

当然、Z の部分集合である自然数の集合 N について minus(N x N) ⊆ Z ですが、minus(N x N) が N に含まれるとは限りません。

定義域を縮めたからといって、勝手に値域も縮むわけではありません。

お礼

ありがとうございます。
説明がうまくできていなかったようです。申し訳ありません。
自然数が減法について閉じていないということは分かっていました。
１．動物には目と鼻がある。
２．生物には目と鼻と口がある。
動物を生物の一部と考えれば、１と２から動物には口があることになると思います。
これと同じように考えると質問のようになると思いましたが、やり取りの中で勘違いが分かりました。
正しくは次のとおりです。
Ａ．自然数全体の集合は加法と乗法について閉じている。
Ｂ．整数全体の集合は加法、減法、乗法について閉じている。
全体の集合であることが抜けておりました。
納得いたしました。