正則であることを証明する問題です。

質問

以下の問題ができませんでした。
行列　I+Σ[k=1,∞]A^k/k!　が正則であることを示せ。

回答No.2

29-Q · ベストアンサー

もうすこし丁寧に説明します。

0!=1に注意すると、与式はΣ[k=0,∞]A^k/k!と書ける。

まず、この無限級数が行列環の中で任意の行列Aに対して絶対収束することを言わないといけない。一つの方法はJordan標準型を使う。(質問者がJordan標準型を知らない場合はこの段落を読み飛ばしてください。Jordan標準型とは対角化の概念の一つの一般化で、行列の冪の計算が簡単になります)
いまJをAのJordan標準型とすると、正則行列Pが存在して
A=P^(-1) J P
と書けている。さて、A^n=P^(-1) J P P^(-1) J P ・・・P^(-1) J P=P^(-1) J^n P
だから、Nまでの部分和は
Σ[k=0,N]A^k/k! =P^(-1) (Σ[k=0,N]J^k/k!) P
J^nは具体的に成分が書き下せるので、スカラーの指数関数の冪級数の収束性に帰着される。
よってまず、Σ[k=0,∞]A^k/k!がある行列に収束することは分かる。

次に、正則性。

f(A)=Σ[k=0,∞]A^k/k!とおく。
このとき、AB=BAとなるA,Bに対して、kからjとる組み合わせの数をkCjとして
(A+B)^k=Σ[j=0,k]kCj A^j B^(k-j)

が成り立つ。(A,Bが可換でないと、(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2のようになってしまうので、(A+B)^2=A^2+2AB+B^2のようになるには可換性が重要)
よって、

f(A+B)=Σ[k=0,∞](A+B)^k/k!
=Σ[k=0,∞]Σ[j=0,k]kCj A^j B^(k-j)/k! …(※)

さて、kCj=k!/j!/(k-j)!だったのでkCj/k!=1/j!/(k-j)!
したがって、
(※)=Σ[k=0,∞]Σ[j=0,k](A^j)/j! (B^(k-j))/(k-j)!
=(Σ[j=0,∞](A^j)/j!)×(Σ[h=0,∞](B^h)/h!)
=f(A)×f(B)

つまり、AB=BA ⇒ f(A+B)=f(A)f(B)
が言えた。とくに-AはAと可換だから、f(O)=f(A)f(-A)
いま、f(O)=Σ[k=0,∞]O^k/k!=I (k≧1の項は全てOになるので)
よりf(A)f(-A)=I

よってf(A)は可逆で逆元はf(-A)で与えられる。

お礼

詳しく解答を書いてくださり、ありがとうございました。
おかげでよく理解できました。
お礼が遅くなり、申し訳ありませんでした。

回答No.1

29-Q

exp(A)=I+Σ[k=1,∞]A^k/k!は行列の指数関数です。
A, Bが可換(AB=BA)のときexp(A+B)=exp(A)exp(B)が成り立ちます。(級数の定義式から二項定理を使って導けます。)
したがって逆行列はexp(-A)=I+Σ[k=1,∞](-A)^k/k!で与えられます。

また、det(exp(A))=exp(trace(A))≠0からも正則性はわかります。