正則行列と階数の問題

質問

行列の階数の問題です

次の問に答えてください。
解答には、行列Ａの階数がｒであることと、正則行列Ｐ，Ｑが存在してＰＡＱ＝{ (Er,0),(0,0) } （Erはr次単位行列)と変形できることとが同値であることを使ってよいそうです。

R,Sを正則行列とするとき、rank(RAS)＝rank(A)が成り立つことを示せ

正則行列が苦手で性質があまり理解できません
正則行列R,SであることからPAQと同じ形になることを言っていいのでしょうか？
それとも正則行列の性質から別の証明が必要なのでしょうか？

わからなくて困っています、教えていただけるとありがたいです。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

「使っていい」ことの内容は, 次の 2つが同値であるということです:
・A の階数が r
・(A に依存して) 適切な正則行列 P, Q を持ってくると PAQ = { (Er, 0), (0, 0) } とできる
一方, 示すべき命題は「どんな正則行列 R, S を持ってきても rank(RAS) = rank A」です. R, S がたまたま上でいっている「適切な」P および Q と等しければ (つまり R=P かつ S=Q であれば) RAS = { (Er,0),(0,0) } となりますが, 一般にはそうではないので「RAS = { (Er,0),(0,0) }」としてはいけません.
証明の流れとしては
・rank A = r と仮定する
・PAQ = { (Er, 0), (0, 0) } となるような正則行列 P, Q が存在する
・行列 RAS に対して P'(RAS)Q' = { (Er, 0), (0, 0) } であるような正則行列 P', Q' が存在する
・だから RAS の階数も r
くらいかな. 途中に抜けたところがあるので, そこを埋めれば終わり.

お礼

ありがとうございます
Ｐ，Ｑの使い方がよくわかりました

回答No.1

Tacosan

ん～, 「正則行列が苦手」ってことは「正則でない行列は苦手じゃない」ってことだよなぁ.... なんか, 直観的には珍しい感じがする.
「正則行列R,SであることからPAQと同じ形になる」はどのような流れを表しているのかが分かりません. どう考えているのか, きちんと書いてもらえますか?

補足

正則行列が絡んだ問題が苦手ですね

日本語があまりうまくないのですみません
仮定でＰＡＱ＝{ (Er,0),(0,0) }というものがあって
Ｒ，Ｓが正則であればその正則行列の性質から同じようにＲＡＳ＝{ (Er,0),(0,0) }ということがいえるのでしょうか？
もしくはきちんとした証明があるのでしょうか？