水素原子の波動関数における方位角成分の規格化定数

質問

方位角成分の関数Θ(θ)＝(-1)^[(m+|m|)/2]・√(l+1/2)・√{(l-|m|)!}/{l+|m|}!・P(cosθ)として表されますが(Pはルジャンドル陪関数)、規格化定数の(-1)^[(m+|m|)/2]はどうやって求めたのですか？規格化条件を満たすように積分すれば求まるでしょうが、式が複雑で何をどうすれば良いのか分かりません。使っている本には何も説明がなく突然出てきて、気になったのでいくつか本を漁ったのですが、ある本には任意定数と書いてあったり釈然としません。任意ではないような気がします・・・
最終的には教授に質問したのですが、「そういう定数を掛けると辻褄が合うから」みたいな事を言われただけでスッキリしません。
この規格化定数の導出過程をどなたか教えてもらえないでしょうか。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

辻褄が合うというより単に計算しやすくなるからというだけです。

Θ(θ)とφ方向の波動関数との積は球面調和関数と呼ばれますが、これに昇降演算子を作用させる事は比較的よくあって、球面調和関数のmの値を1増減させるような働きをします。球面調和関数を|l,m>と書くことにすると
Ｌ_±|l,m>＝定数|l,m±1>
という事を言っています。

>(-1)^[(m+|m|)/2]
という風に符号を選んでおくと、上記の式の定数の部分が常に正の定数になるので計算上は都合が良いのです。負符号が出てきて符号を考えないといけないのは大変ですから。

お礼

分かりました。そういうものなんですね。
お世話になりました。

回答No.1

ORUKA1951

ははは・・・
「そういう定数を掛けると辻褄が合うから」
　がそのものずばりなのです。

　波動関数は確かに電子の軌道を説明することができますが、その定数項は実験や観測データから、それに合うように定めるしかないのです。
　はっきりいうと、「後出しじゃんけん」みたいなものなのです。重力定数が計算からは求められないのと同じです。
　今後、混成軌道なども出てきますが、なぜその割合で混ぜると良いかの説明はありません。そうするとうまく説明できるから・・としか。

お礼

早速の回答有難うございます。
私が知りたいのはその式や数値の意味ではなく計算過程です。そのような値になった理由や式の意味付けは「後出しジャンケン」だと思いますが、機械的な式の計算は100年位前の物理学者が規格化条件から計算して出したのではないんですか？