余弦定理を利用して式変換をする

質問

余弦定理を利用して、式変換を行いたいのですが、わかりません。

x = l1 * cos q1 + l2 * cos (q1 + q2)
y = l1 * sin q1 + l2 * sin (q1 + q2)

この２式において、余弦定理を適用して、次式を得たいのです。

q1 = tan^(-1) (y/x) - cos^(-1) ( (x^2 + y^2 + l1^2 - l2^2) / (2 * sqt(x^2 + y^2) * l1) )
q2 = cos^(-1) ( (x^2 + y^2 - l1^2 - l2^2) / (2 * l1 * l2) )

どなたか導出の過程を教えてください＞＜

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２です。お礼をありがとうございます。
　まずは、また添付図に誤記がありましたので訂正させてください。
　ｑ２の角度ですが、これは∠ＢＡＣではなく、∠Ｃの外角です。
　度々の誤記ですみません。

　さて、q1の導出ですが、x、y、√(x^2+y^2) を３辺とする直角三角形の直角となる頂点を点Dとしますと、　∠ABD=arctan(y/x)　ですから、　∠ABC=∠ABD-∠CBD=arctan(y/x)-q1 になります。
　ここで∠ABCについて余弦定理を使うと、
　　CA^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos∠ABC
ですので、これに値を代入すれば求められます。
　　L2^2=(x^2+y^2)+L1^2-2√(x^2+y^2)*L1*cos{arctan(y/x)-q1}

お礼

ありがとうございます！
おかげさまでできました！

でも初歩的過ぎることがわかっていないみたいです。
差支えなければ教えて頂いてもいいですか？
∠ABD=arctan(y/x)
と
CA^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos∠ABC
の意味といいますか、成り立ちがわかりません＞＜

回答No.3

Mr_Holland

＃２です。
　添付図に誤記がありましたので、訂正します。

　斜辺の　√(l1^2+l2^2)　の部分を　√(x^2+y^2) に置き換えて下さい。

回答No.2

Mr_Holland

添付図の△ABCで余弦定理を使われてはいかがでしょうか。

　q2はそのまま余弦定理で求められます。
　q1は　arctan(y/x)-q1 で余弦定理を使えば求められます。

お礼

ありがとうございます！！
q1の導出がよくわからないんですが、
もう少し詳細をお願いしてもいいですか？＞＜

回答No.1

178-tall

[作図]
斜辺長 L1, L2 の二つの直角三角形 T1, T2 を想定し、その一角が q1, q1 + q2 > q1 とする。
T1, T2 を積み上げてできる凹四辺形の凸対 2 頂点を直線で結び、三角形 T とする。
凸対 2 頂点間の長さを L とすると、それに対する凹四辺形の二辺 L1, L2 のなす角は π- q2 。

三角形 T でのピタゴラス。
　L^2 = x^2 + y^2

ここで余弦定理の出番。
　L^2 = L1^2 + L2^2 - 2*L1*L2*cos(π- q2)
　　　　= L1^2 + L2^2 + 2*L1*L2*cos(q2)

これらから、cos(q2) を勘定できる…みたいなストーリーでしょうか。

お礼

ありがとうございます！！
おかげさまでq2を導出できました！！