余弦積分関数の公式の導出を教えて

質問

ある投稿で半波長アンテナの放射電磁界の電力を求めるとき余弦積分関数が出てくることを知りました。

色々調べたのですが次の公式の導出が解りません。教えていただけないでしょうか？

Ci(x)=-∫[x,∽]dt(cos t)/t=C+log x+∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
C:オイラーの定数。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

それほど簡単ではないと思います。tが小さい時

　{(cos t)-1}/t = - t/2! + t^3/4! - t^5/6! +…

と展開できます。項別に積分すると

　∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
= Σ{n=0~∞}(-1)^n x^(2n) /(2n(2n)!)

であることが分かります。この式と
　アルフケン：特殊関数（基礎物理数学第4版 vol.3）
の演習1.5.10の式

　Ci(x) = C+log x + Σ{n=1~∞}(-1)^n x^(2n) /(2n(2n)!)

とから
　Ci(x) = C + log x+∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
が出ます。演習1.5.10の式は積分指数関数と積分余弦関数の関係

　Ci(x) = (-1/2)[E1(ix) + E1(-ix)]

と
　E1(x) = - C-log x + Σ{n=1~∞}(-1)^n x^n /(n・n!) 　… (1)

からすぐに分かります。(1)式の導出は上記参考書にあります。

お礼

ありがとうございます。
手元の岩波数学公式集と見比べているのですが、注意書きにあるようにどうも微妙に定義が異なるようです。
たとえばオイラーの定数の積分表示なのですが一番似たものでも∫[0,∞]dt{e^(-t)}log(1/t)といった感じです。

アルフケンの本は図書館にあったので予約してきました。
お気楽に考えていたのですがどうも大変なものに手を出したようです？
でもせっかくですので昔を思い出しながら挑戦してみます。

補足

おばかでした。朝起きたとたん
log t=-log(1/t)に気が付きました。オイラーの定数の定義が色々あるわけがないですね。

回答No.3

grothendieck

オイラーの定数の一つの表し方
　C = - ∫[0,∞]dt exp(-t) log t
= - ∫[0,x]dt exp(-t) log t -∫[x,∞]dt exp(-t) log t

から出発します。部分積分すると

　∫[x,∞]dt exp(-t) log t = exp(-x) log x + E1(x)

(E1(x)=∫[x,∞]dt exp(-t)/t は積分指数関数)

より

　E1(x) = - C - ∫[0,x]dt exp(-t) log t - exp(-x) log x
　 = - C - log x -∫[0,x]dt exp(-t) log t +[1-exp(-x)] log x
　 = - C - log x -∫[0,x]dt [exp(-t) - 1]/ t

この式と
Ci(x) = (-1/2)[E1(ix) + E1(-ix)]

から
　Ci(x) = C + log x+∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
が分かります。すなわち積分の発散する部分を分離するため
　exp(-x) log x = log x + [exp(-x) - 1 ] log x
と変形する所が最大のポイントと言えるでしょう。

お礼

ありがとうございます。
今時間がないので帰ってからよく見てみます。

補足

どうもE1(z)の計算がよくわからないのでアルフケンの本を見てからにします。
なお、＃３の方法はE1(x)を介しているのでよく解らなかったのですが別の公式
C = ∫[0,∞]dt {1/(1+t)-cos(t)}/t
から変形すると比較的簡単に結論が得られました。

本当にありがとうございました。

回答No.1

sak_sak

∫[0,x]dt{(cos t)-1}/t
＝∫[0,∞]dt{(cos t)-1}/t － ∫[x,∞]dt{(cos t)-1}/t
＝∫[0,∞]dt{(cos t)-1}/t － ∫[x,∞]dt{(cos t)/t} ＋ log x
という感じで変形していくのかなー
と思ったのですが、どうでしょう?

お礼

ありがとうございます。
マイナーなんですね、あきらめかけいました。

いま時間がないのでちょっと見た感じでは
C=lim(R->∞){-∫[0,R]dt{(cos t)-1}/t + log R}
がいえれば良いようですね。