arctanの微分について

質問

arctan(1/{ω(C1+C2)+1/ωL}dωの微分はどのように解くのでしょうか？
導出過程と答えを教えてください。
C1とC2とLは定数です。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

> arctan(1/{ω(C1+C2)+1/ωL}dω

右括弧「)」の数が足りませんが補って下さい。

dωは何ですか？

θ=arctan(1/{ω(C1+C2)+(1/(ωL))}) をωで部分すればいいのなら
tanθ=1/{ω(C1+C2)+(1/(ωL))}
ωで微分
(dθ/dω)sec^2θ=-{C1+C2-(1/(Lω^2))}/{ω(C1+C2)+(1/(ωL))}^2
ここで
sec^2θ=1+tan^2θ=1+(1/{ω(C1+C2)+(1/(ωL))})^2
=(1+{ω(C1+C2)+(1/(ωL))}^2)/{ω(C1+C2)+(1/(ωL))}^2

∴dθ/dω=-{C1+C2-(1/(Lω^2))}/(1+{ω(C1+C2)+(1/(ωL))}^2)
　　=-{(C1+C2)ω^2-(1/L)}/(ω^2+{(C1+C2)(ω^2)+(1/L)}^2)

補足

回答ありがとう御座います。
括弧の数もうしわけないです。
dωはωで微分です
意味を汲んで頂きありがとう御座います。

もう1点質問お願い致します。
>(dθ/dω)sec^2θ=-{C1+C2-(1/(Lω^2))}/{ω(C1+C2)+(1/(ωL))}^2

とありますが、右辺の意味はわかったのですが、
左辺の(dθ/dω)sec^2θ
が分かりません。

例えば
θ=
の場合はθをωで微分するという意味で
dθ/dω=
の形で良いと思うのですが、

tanθ=
の場合が
(dθ/dω)sec^2θ
という形になるのがいまいち納得できません。

基本的なことかもしれませんが、
できましたらご教授願います。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足の質問について

>もう1点質問お願い致します。
>>(dθ/dω)sec^2θ=-{C1+C2-(1/(Lω^2))}/{ω(C1+C2)+(1/(ωL))}^2

>とありますが、右辺の意味はわかったのですが、
>左辺の(dθ/dω)sec^2θ
>が分かりません。

>基本的なことかもしれませんが、
基本的なことです。

y^2=4-x^2
この両辺をxで微分するとどうしますか？これと同じことです。
左辺の微分は
d(y^2)/dy*(dy/dx)=2yy'
としませんか？
右辺は　d(4-x^2)/dx=-2x
従って微分結果は
　2yy'=-2x
　y'=-x/y
となりますね。

今の場合、

tanθをωで微分する場合は
d(tanθ)/dω={d(tanθ)/dθ}*(dθ/dω) …（★） としませんか？
> =(dθ/dω)sec^2θ
>という形になるのがいまいち納得できません。
d(tanθ)/dθ=sec^2θ　（公式）
ですが、tanθの微分がsec^2θで或ことは御存知でしょう
（すぐ導けますが）。

（★）の右辺で
d(tanθ)/dθ=sec^2θ
(dθ/dω) はそのままで
求める(dθ/dω)を強調して、前後入れ替えてあるだけです。

お礼

補足の質問についても回答して頂き
ありがとうございます。

納得しました。
ちょっと勉強足らずでした。
大変分かりやすかったです。