水素原子の波動関数について

質問

水素原子の波動関数について
（以下、波動関数Φnlm(r,θ,φ)のことを、Φnlmと書かせていただきます）

「Φ+=1/√2(Φ200＋Φ210)
が、水素原子の波動関数であることを示せ」という問題がわかりません。

問題文に与えられている式は
(1)L^2Φnlm=h^2l(l+1)Φnlm
(2)LzΦnlm=hmΦnlm
（hはディラック定数）

(3)L^2およびLz演算子の具体式
(4)Φ200およびΦ210の具体的な数式
(5)Φnlmに対応するエネルギーの式

です。

Φ+に演算子L^2をかけると、Φ200の項が消えて
(1)は成り立ちませんよね？

Φ+は一体どの軌道を表し、それをどのように示せばいいのでしょうか。

宜しくお願い致します。

回答No.1

101325 · ベストアンサー

(5) を使えばいいです。

HΦ200 = E200Φ200, HΦ210 = E210Φ210, E200 = E210
より
HΦ+ = 1/√2(HΦ200＋HΦ210) = ... = E200Φ+

……というのが、出題者の意図した答えだと思います。

もう少しひねくれた回答をすると、「Φ200もΦ210も水素原子の波動関数なので、それらの一次結合は水素原子の波動関数になる」と言うこともできます。こちらの考え方では、1/√2(Φ100＋Φ200)のような、ハミルトニアンの固有関数ではないものも、波動関数とみなします。

後者の考え方のほうがより一般的な考え方なのですけど、「波動関数」という言葉を「ハミルトニアンの固有関数」に限定して使う人もいます。問題文にある「波動関数」がどちらの意味なのかは、出題者に確認すれば分かると思います。

お礼

迅速なご回答ありがとうございます！
すっきり致しましたm(__)m
改めて見ると、どちらの内容もアトキンスに載っていますね。。
Lの式ばかり見ていて、気づきませんでした；
どうもありがとうございました！