連立微分方程式

質問

x1" = cos(t) - 2*x1 + x2
x2" = x1-x2
からなる連立微分方程式が解きたいのですが、
cos(t)が存在しない場合は解けるのですが
右辺にcos(t)があるときの解き方が知りたいです。
どなたか詳しい方、教えて頂きたいです。

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

x1" = cos(t) - 2*x1 + x2　　　　(1)

x2" = x1-x2　　　　　　　　　　　　(2)

(2)より　x1=x2''+x2を(1)に代入し整理すると

x2''''+3x2''+x2=cost　　　　　　　(3)

演算子Dを用いて一般解を求める。

(D^4+3D^2+1)x2=0

D^2=(-3±√5)/2<0

D=iw1,-iw1,iw2,-iw2

w1=√(3-√5)/2, w2=√(3+√5)/2

一般解ygは

yg=aexp(iw1t)+bexp(-iw1t)+cexp(iw2t)+dexp(-iw2t)

特殊解をys=pcost+qsintを仮定、(3)に代入すると

-pcost-qsint=cost

p=-1, q=0

ys=-cost

x2の完全解は

x2=yg+ys=aexp(iw1t)+bexp(-iw1t)+cexp(iw2t)+dexp(-iw2t)-cost (4)

(2)よりx1=x2+x2''

(4)を代入して

x1=(1-w1^2)[aexp(iw1t)+bexp(-w1t)]+(1-w2^2)[cexp(iw2t)+dexp(-w2t)]

お礼

とても丁寧にありがとうございました。
分かりやすく、助かりました。

回答No.2

Tacosan

ふつ～にどっちかの変数を消す.

回答No.1

yyssaa

＞問題にミスプリはありませんか？
念のため、cos(t)が存在しない場合の答を書いてみては？

お礼

ミスプリは無いです。
cos(t)が存在しない場合の解は書いておくべきでした、すみません。