連立微分方程式の解き方がわかりません

質問

連立微分方程式の解き方がわかりません

ｆ(x,Pn)=φ(x,Pn)+φ(x, -Pn)
と、ｘで偏微分した
ｆ'(x,Pn)=φ'(x,Pn)+φ'(x, -Pn)=λｆ(x,Pn)　　　　　λは、実定数
の連立微分方程式　です。　（要は、固有値問題）
整理すると、
φ'(x,Pn)+φ'(x, -Pn)=λφ(x,Pn)+λφ(x, -Pn)
これを、以下と置ければ、解けるのですが、
φ'(x,Pn)=λφ(x,Pn)
φ'(x, -Pn)=λφ(x, -Pn)
そう置いて、いいものかどうか、わかりません。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

第一式 f(x,Pn) = φ(x,Pn) + φ(x,-Pn) は、微分を含んでいないので、
微分方程式としては、連立でも何でもありません。
まず、第二式 f '(x,Pn) = λ f(x,Pn) を微分方程式として解いてから、
第一式については、後でゆっくり考えてはどうですか？

お礼

さっそく、ありがとうございます。

本来の式は、－ｉがつきますので、
－ｉf '(x,Pn)/f(x,Pn) = λ
両辺を　ｘで積分して、In f(x,Pn)=ｉλx
f(x,Pn)=exp(ｉλx)　　　　　
　　　＝φ(x,Pn) + φ(x,-Pn)
で、
φ(x,Pn)＋φ(x,ーPn) ＝exp(ｉλx)　
これからが、わからなくなりました。

＝｛exp(ｉλx)＋exp(-ｉλx)｝exp(ｉa)　と置くのでしょうか？

回答No.3

alice_44

「g(x,Pn) が奇関数」と書くと、
x について奇関数 g(-x,y) = -g(x,y) みたいに
聞こえますが、
y について奇関数 g(x,-y) = -g(x,y) です。
その点に誤解がなければ、それで ok でしょう。

解釈は、φ(x,Pn) = (1/2) exp(iλx) + g(x,Pn)
ただし、g(x,y) は、x について(偏)微分可能で、
y について奇関数であるような、任意の関数
です。

この答えが不十分だとすれば、
元題と質問との間で、問題が違っているのでしょう。

回答No.2

alice_44

方程式を訂正したのですね。

φ(x,Pn) + φ(x,-Pn) = exp(iλx) であれば、
g(x,Pn) = φ(x,Pn) - (1/2) exp(iλx) と置いて、
g(x,Pn) + g(x,-Pn) = 0。

g(x,y) が y について奇関数でありさえすれば、
この式は成立します。すなわち、

g(x,y) が x について偏微分可能で、
y について奇関数でありさえすれば、どんな関数であっても、
φ(x,Pn) = (1/2) exp(iλx) + g(x,Pn) が質問の解になります。

お礼

なるほど、そうするのですね。
よくわかりました。
で、結果は、
φ(x,Pn) = (1/2) exp(iλx) + g(x,Pn)
φ(x,-Pn) = (1/2) exp(iλx) + g(x,-Pn) 　　　　　　　　ただし　g(x,-Pn)は奇関数
ですね、ｘ、-Pn　についてφは、同じ形でないといけないから。
でも、元題は、
-i∂/∂x を∂ｘとすると、∂xｆ(x、Pn)＝λｆ(x、Pn)　の固有関数なのです。
この答えで、十分なのでしょうか？