複素関数の微分について

質問

かなり乱暴な質問だと思いますが、回答をよろしくお願いします。
複素関数ｆ(ｚ)がｚ。において微分可能であることを示すときに
「ｚがあらゆる方向からｚ。に近づいてきても
（（ｆ(ｚ）-ｆ（ｚ。)）／（ｚ-ｚ。）がある値に近づく」
というくだりがよくわかりません。
２変数関数の偏微分みたいに、方向によって値が違っていても
いいような気がしますが、複素関数では同じになるのでしょうか？
それとも同じになる時に限って微分可能と定義付けるのでしょうか？

回答No.2

kabaokaba

＞「ｚがあらゆる方向からｚ。に近づいてきても
＞（（ｆ(ｚ）-ｆ（ｚ。)）／（ｚ-ｚ。）がある値に近づく」

っていうのが「定義」なんだから

＞それとも同じになる時に限って微分可能と定義付けるのでしょうか？

という意味以外にありません．

＞２変数関数の偏微分みたいに、方向によって値が違っていても
＞いいような気がしますが

だから，そういう場合は「偏微分」です．
わざわざ定義しなおす必要はないです．

・実数の微分は「軸一個」の方向
・偏微分は「それぞれの軸」の方向
・複素微分は「すべて」の方向

であり，それぞれの隙間はとても大きいのです．
＃偏微分できる関数と複素微分できる関数の間に
＃またもうちょっと毛色の違う関数があったりします．

そのうち正則関数は極めて特異な性質を持つことを勉強すれば，
そういう感覚がわかるでしょう．

お礼

ご返事どうもありがとうございます。
やっぱりそうなのかというのと、もっと勉強したら面白そうだなという気になりました。
自分としては、最初に回答していただいたsanoriさんのように具体例を出すと
Ｆ（ｘ＋ｙｉ）＝３ｙのような場合
コーシーリーマンの関係式は満たさないけど、連続だし微分可能ジャン
って思いそこで引っ掛かっていました。
kabaokabaさんのアドバイス、非常に助かります。
当然ながら今の時点では正則関数を取り扱うことの意味がまったくわかりませんのでもう少し勉強してみます。もし他にもアドバイスがあれば是非よろしくお願いします。

回答No.1

sanori

こんばんは。

単純な例では、複素数ｘ＋ｉｙについて、
ｙ≧０　のとき　ｆ＝１
ｙ＜０　のとき　ｆ＝２
という「崖」がある関数ｆにおいては、
第３・第４象限の方面から　ｙ⇒０　とするときに困りますよね。
ｙ＝０にどこまで近づいても２なのに、ｙ＝０では突然１ですので。

お礼

早速のお返事ありがとうございます。
具体例を挙げていただいたのでとても助かります。
まだ釈然としない部分がありますので、もう少し書き込みさせていただきます。