三角関数の究極的理解は三角形から離れていますか

質問

サインコサインを高校で習ったときから三角形が頭から離れませんが、オイラーの公式は三角形はあまり関係なく台数のような感じがします。さらに理解を深めるためには三角形というか幾何学的イメージから離れるほうが正しいのでしょうか。

回答No.1

DJ-Potato · ベストアンサー

そうですね、三角形を思い浮かべながら議論するのは三角比までで、そこから発展した三角関数では三角形よりも単位円を意識した方が理解がいいかもしれません。

お礼

単位円ですね。ご教示ありがとうございます。

回答No.4

NemurinekoNya

最終的には、幾何学から離れるですかね。

Wikipediaの三角関数
http://okwave.jp/qa/q8640070.html
にあるように、三角関数は無限級数で定義されるんで。
今は分からなくてもいいけれど、
　sinz = Σ(-1)^2/(2n+1)!・z^(2n+1)
みたいなやつ。
これが三角関数の究極的理解といえば、そうなのかもしれない。

☆さらに理解を深めるためには三角形というか幾何学的イメージから離れるほうが正しいのでしょうか。
◇正しいかどうかといわれると、ハテナ。
上に示したsinの定義式から幾何学的なイメージは沸かないので、
図形や物理などへの応用という観点からすると、デメリットの方が大きい。

わたしの考えでは、単位円による定義が一番いいのではないか、です。

といいつつ、
わたしは、
実際に図形問題などを解くときには、
sinの頭文字はsだからホニャララ、cosの頭文字はcだからホニャララ、tanの頭文字はtだからホニャララ
といったことをやっていますけれど。

この憶え方は知っていると思いますけれども、
念のため、
http://otsuiti2.web.fc2.com/menu/sn/sankaku.htm

ここの「正弦・余弦・正接について」に、この憶え方が書いてあるので、
知らなかったら、見てください。

お礼

含蓄のあるご教示をありがとうございました。勉強させていただきます。

回答No.3

spring135

数学を幾何学的なイメージと関連付けることは、問題を直感的にかつ実体として具体的に理解することができ、極めて有意義です。質問者が高校生ならば入試には絶大な力を発揮するでしょう。

その意味で、三角関数を図形に関連付けて理解することは極めて有効だと思います。オイラーの公式は複素平面における幾何学そのものです。複素数z=x+iyを極座標表示したとき、

z=x+iy=rexp(iΘ)

rは動径、Θは偏角でオイラーの公式により展開すると

z=x+iy=rexp(iΘ)=r(cosΘ+isinΘ)

x=rcosΘ, y=rsinΘ

これは幾何学そのものです。三角関数の加法定理もオイラーの公式を使うと魔法のように溶けることはご存じですか。

大学の数学では幾何学と関連付ける方法がわからないケースも経験していますが、それはそれとしましょう。

お礼

歳をとっていますが、学力は高校生以下です。加法定理とオイラーの公式の関係を調べてみます。どうもありがとうございました。

回答No.2

akeshigsb

高校の数学Iの範囲では三角形を使っての説明がメインですが（そもそも測量のために使われておりその時点では三角形をイメージしていたはずですが）、数学IIの範囲になると「原点を中心とした単位円の円周上の座標（X座標がCOS、Y座標がSIN、単位円でなければ半径rでわる）」と定義しています。
　また、数学Iでは三角形を基準にしているために90°以上のの概念・計算がありません（SINなどで使っている角とは別に直角もあるはずで、その角度が90度以上であれば三角形の内角の合計が180°を超えてしまいます）。しかしII以降では360°までできます（それ以上は360×Nをひいてやって、360°未満にできます）。

　結論を端的に書くと、「幾何学イメージは頭の片隅には持っておおいた方がいい」と思います。あなたがどのレベルで数学を勉強しているかは分かりませんが（そのため基礎的なオイラーの公式の理解をするレベルと想定しました）、確かに証明式の理解にはほとんど使いませんが、公式の意味・意義（つまりどういうことか）を理解するには持っておいた方がいいというものです。

　また次回質問される場合には、ご自身の学歴（学生なのかなど）を書かれることをお勧めします。浪人生に対し、入試の解法テクニックとして教える場合と一般教養的な目的の人とではアドバイス内容も大きく変わってきますから。

お礼

学力は低いですが、一般教養的な立場にいます。ご教示ありがとうございました。