ベクトル積、複素三角関数についてです。

質問

ベクトル積と複素三角関数についてです。
１．ベクトル積の公式中の、ベクトル絶対値は残して、夾角θのサイン、sinθ だけ消去する方法はありますか。
２．複素数の角度と、その三角関数の持つ、幾何学的な意味をお教え下さい。

回答No.3

jcpmutura · ベストアンサー

訂正します
sin(x+yi)=-sinh(y)sin(x)+isinh(y)cos(x)
ではなく
sin(x+yi)=cosh(y)sin(x)+isinh(y)cos(x)
でした

1.
|A×B|^2+(A,B)^2=(|A||B|)^2
AとBの外積の2乗と内積の2乗の和は絶対値の積の2乗に等しい

2.
cos(x+yi)
=(e^{i(x+yi)}+e^{-i(x+yi)})/2
=(e^{ix-y}+e^{-ix+y})/2
=(e^{ix}e^{-y}+e^{-ix}e^y)/2
={(cosx+isinx)e^{-y}+(cosx-isinx)e^y}/2
={e^{-y}cosx+ie^{-y}sinx+(e^y)cosx-i(e^y)sinx}/2
={e^{-y}cosx+(e^y)cosx+ie^{-y}sinx-i(e^y)sinx}/2
=[(e^{-y}+e^y)cos(x)+i(e^{-y}-e^y)sin(x)]/2
=cosh(y)cos(x)-isinh(y)sin(x)

実部は
{(x,y,z)|z=cosh(y)cos(x)}
x軸方向断線はcos曲線
y軸方向断線は双曲線(cosh曲線)
の曲面となる

虚部は
{(x,y,z)|z=-sinh(y)sin(x)}
x軸方向断線はsin曲線
y軸方向断線は双曲線(sinh曲線)
の曲面となる

sin(x+yi)
=i(e^{-i(x+yi)}-e^{i(x+yi)})/2
=i(e^{-ix+y}-e^{ix-y})/2
=i(e^{-ix}e^y-e^{ix}e^{-y})/2
=i[(cosx-isinx)(e^y)-(cosx+isinx)e^{-y}]/2
=[i(e^y)cosx+(e^y)sinx-ie^{-y}cosx+e^{-y}sinx]/2
={(e^y)sinx+e^{-y}sinx+i(e^y)cosx-ie^{-y}cosx}/2
={(e^y+e^{-y})sin(x)+i(e^y-e^{-y})cos(x)}/2
=cosh(y)sin(x)+isinh(y)cos(x)

実部
{(x,y,z)|z=cosh(y)sin(x)}
x軸方向断線はsin曲線
y軸方向断線は双曲線(cosh曲線)
の曲面となる

虚部
{(x,y,z)|z=sinh(y)cos(x)}
x軸方向断線はcos曲線
y軸方向断線は双曲線(sinh曲線)
の曲面となる

tan(x+yi)
=sin(x+yi)/cos(x+yi)
=i(e^{-ix+y}-e^{ix-y})/(e^{ix-y}+e^{-ix+y})
=(ie^{-ix}e^y-ie^{ix}e^{-y})/(e^{ix}e^{-y}+e^{-ix}e^y)
=
(i(cosx-isinx)e^y-i(cosx+isinx)e^{-y})
/[(cosx+isinx)e^{-y}+(cosx-isinx)e^y]
=
[i(e^y)cosx+(e^y)sinx-ie^{-y}cosx+e^{-y}sinx]
/[e^{-y}cosx+ie^{-y}sinx+(e^y)cosx-i(e^y)sinx]
=
[(e^y)sinx+e^{-y}sinx+i(e^y)cosx-ie^{-y}cosx]
/[(e^y)cosx+e^{-y}cosx+ie^{-y}sinx-i(e^y)sinx]
=
[(e^y+e^{-y})sinx+i(e^y-e^{-y})cosx]
/[(e^y+e^{-y})cosx-i(e^y-e^{-y})sinx]
=
[(e^y+e^{-y})sinx+i(e^y-e^{-y})cosx][(e^y+e^{-y})cosx+i(e^y-e^{-y})sinx]
/[(e^y+e^{-y})^2(cosx)^2+(e^y-e^{-y})^2(sinx)^2]
=
[2sin(2x)+i(e^{2y}-e^{-2y})]/[e^{2y}+e^{-2y}+2cos(2x)]
=
{2sin(2x)+i2sinh(2y)}/{2cosh(2y)+2cos(2x)}
=
{sin(2x)+isinh(2y)}/{cosh(2y)+cos(2x)}

実部は
{(x,y,z)|z=sin(2x)/[cosh(2y)+cos(2x)]}
の曲面となる

虚部は
{(x,y,z)|z=sinh(2y)/[cosh(2y)+cos(2x)]}
の曲面となる

お礼

またまた有難う御座います。しかし、御回答　No.2　への補足質問を御覧下さい。

補足

No.2　への補足質問を御覧下さい。

回答No.2

jcpmutura

1.
A,Bをベクトル
AとBの外積を
A×B
AとBの夾角を
θ(0≦θ≦π)
とすると
ベクトル積の公式
|A×B|=|A||B|sinθ…(1)
中の、
ベクトル絶対値
|A|
|B|
は残して、
sinθ だけ消去するために
AとBの内積を
(A,B)
を追加すると
(A,B)=|A||B|cosθ
両辺を2乗すると
(A,B)^2=(|A||B|cosθ)^2
両辺に(|A||B|sinθ)^2を加えて(A,B)^2を引くと
(|A||B|sinθ)^2=(|A||B|cosθ)^2+(|A||B|sinθ)^2-(A,B)^2
(|A||B|sinθ)^2=(|A||B|)^2-(A,B)^2
両辺の平方根をとると
|A||B|sinθ=√{(|A||B|)^2-(A,B)^2}
これを(1)に代入すると
∴
|A×B|=√{(|A||B|)^2-(A,B)^2}

2.
cos(x+yi)
=(e^{ix}e^{-y}+e^{-ix}e^y)/2
=[(e^{-y}+e^y)cos(x)+i(e^{-y}-e^y)sin(x)]/2
=cosh(y)cos(x)-isinh(y)sin(x)

実数成分は
z=cosh(y)cos(x)
x軸方向断線はcos曲線
y軸方向断線は双曲線(cosh曲線)
の曲面となる

虚数成分は
z=-sinh(y)sin(x)
x軸方向断線はsin曲線
y軸方向断線は双曲線(sinh曲線)
の曲面となる

sin(x+yi)
=(-ie^{ix}e^{-y}+ie^{-ix}e^y)/2
=[(e^{-y}-e^y)sin(x)+i(e^y-e^{-y})cos(x)]/2
=-sinh(y)sin(x)+isinh(y)cos(x)

実数成分は
z=-sinh(y)sin(x)
x軸方向断線はsin曲線
y軸方向断線は双曲線(-sinh曲線)
の曲面となる

虚数成分は
z=sinh(y)cos(x)
x軸方向断線はcos曲線
y軸方向断線は双曲線(sinh曲線)
の曲面となる

お礼

またも有難う御座います。

補足

いえ、複素角度の幾何学的な意味は？そして、それと、平行四辺形の面積＝外積（第３次元の、即ち複素空間内の、ベクトル）の値、ということを用いて、（A,B)　などの、形式上だけ、｜A｜・｜B｜　を消せるけれども、計算してゆくと、結局、普通の、外積の値の公式通りに終わって、ad - bc ということに落ち着くだけ、というのではなくて、何か、本当に、sin θ　とは全く無縁な式は、複素関数的に、導き出せませんでしょうか。

回答No.1

jcpmutura

1.
A,Bをベクトル
AとBの外積を
A×B
AとBの夾角を
θ(0≦θ≦π)
とすると
ベクトル積の公式
|A×B|=|A||B|sinθ…(1)
中の、
ベクトル絶対値
|A|
|B|
は残して、
sinθ だけ消去するために
AとBの内積を
(A,B)
を追加すると
(A,B)=|A||B|cosθ
両辺を2乗すると
(A,B)^2=(|A||B|cosθ)^2
両辺に(|A||B|sinθ)^2-(A,B)^2を加えると
(|A||B|sinθ)^2=(|A||B|cosθ)^2+(|A||B|sinθ)^2-(A,B)^2
(|A||B|sinθ)^2=(|A||B|)^2-(A,B)^2
両辺の平方根をとると
|A||B|sinθ=√{(|A||B|)^2-(A,B)^2}
これを(1)に代入すると
∴
|A×B|=√{(|A||B|)^2-(A,B)^2}

2.
xを実数
yを実数
iを虚数単位
z=x+yi
2次元複素平面上の
0に対応する点をO
1に対応する点をI
zに対応する点をZ
とすると
OZとOIの
角度
∠IOZ
を複素数zの偏角といい
arg(z)
と表す
θ=arg(z)
とすると
x=|z|cosθ
y=|z|sinθ
z
=x+yi
=|z|cosθ+i|z|sinθ
=|z|(cosθ+isinθ)
=|z|e^{iθ}

複素数
z=|z|e^{iα}
と複素数
w=|w|e^{iβ}
の
積zwは
zw=|z||w|e^{i(α+β)}
で
定義する

お礼

またまた有難う御座います。

補足

１．ハイフンで表しておられますのは、マイナスですか、それとも何でしょうか。「両辺に・・・加えると、」の所が分かりかねますが・・・。

２．いえ、sin/cos/tan（a+b*i)が出ているサイトがあったのですが、その幾何的意味が分かりませんのです。複素角度とは何でしょうか。