三角関数の指数関数表示とオイラーの公式の関係

質問

指数関数表示されたsin やcosをそれぞれ二乗して足してみるとe^(ix)*e^(-ix)が１になることは(sinx)^2+(cosx)^2=1という公式から素朴に納得できますが、この公式から逆に三角関数の指数関数表示を考えることは不可能だと思います。この公式とオイラーの公式とは直接の関係はないのでしょうか。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

(sinx)^2+(cosx)^2=1　より (cosx) + i(sinx) は絶対値が１の複素数であることが分かります。よってf(x)を実関数として
　(cosx) + i(sinx) = exp{if(x)}　…(1)
とおくことができます。x=0 とおくと exp(if(0)) = 1より
　f(0)=0　…(2)
(1)の両辺を微分すると
　-(sinx) + i(cosx) = (if'(x))exp{if(x)}　…(3)
(1)(3)より
　f'(x)=１　…(4)
(2)(4)より
　f(x)=x
よって(cosx) + i(sinx) = exp{ix}

お礼

どうもありがとうございます。これはオイラーがオイラーの公式を導いたのと同じ径路なのでしょうか。勉強の手がかりにさせて頂きます。

回答No.5

yumisamisiidesu

No3です
> e^(z)=exp(z)がC→Cへの全射を
> e^(z)=exp(z)がC→C-{0}への全射
に訂正しておきます
それでも cosx+isinx=0となるx∈Rはないので、いいと思います

No4さまへ
> あるいは，答えを知っているからこその証明ということでしょうか？
これについては、そうだと思います．

cosx+isinxはR→Cの関数と見ることはできます
そして、No2の
> また、任意のR→Cへの関数g(x)に対して,g(x)=e^(if(x))
> と(あるf:R→Cで)おけることについては、e^(z)=exp(z)が
> C→C-{0}への全射になるという知識が前提にあると思った方が
> いいと思います
から、あるR→Cへの関数fを用いて(cosx+isinxを)exp(if(x))と表すことができることを説明するつもりで書きました
もし、違っていたら補足お願いします

お礼

勉強させて頂きます。有難うございました。

回答No.4

ryn

>> No.3 さま
左辺の絶対値が１になるのはわかるのですが
　cosx + isinx
の値が何になるかを調べようとしている段階で
　exp{if(x)}
のように置けるのかがわかっていません．
左辺とは独立に絶対値が１であることが
言えなければいけないのではないでしょうか？

あるいは，答えを知っているからこその証明ということでしょうか？
そうであれば，とりあえず
　exp{if(x)}
とおいてみたところ，等式を満たす f(x) として
　f(x) = x
というものが見つかったのでOKということで納得です．

お礼

私のレベルではＡならばＢは誰でも理解できてもＢからＡを思いつくことは難しいということと、何が既知(前提）で何が未知(結論、結果)かということが分からないという事でした。

回答No.3

yumisamisiidesu

質問者様と2様へ
|e^(if(x))|=1　についてですが
cosx+isinxの絶対値の2乗が(sinx)^2+(cosx)^2は分りますよね(一般にCの距離はR^2と同一視してます)
(sinx)^2+(cosx)^2=1の公式も分ると思います
(質問文にあるくらいだし)
だからです．

また、任意のR→Cへの関数g(x)に対して,g(x)=e^(if(x))
と(あるf:R→Cで)おけることについては、e^(z)=exp(z)がC→Cへの全射になるという知識が前提にあると思った方がいいと思います

* このご質問と関係ありませんが、以前くりこみ群の知識はおろか位数の定義すら間違っていて大変失礼な回答をしてしまい申し訳ありませんでした．m(_ _)m
位数の定義については、よく見直しいたしました．

お礼

有難うございました。勉強させていただきます。

回答No.2

ryn

便乗質問ですが，
　|exp{if(x)}| = 1
はどのようにして言えるのでしょうか？

お礼

私には分かりませんので、どなたかが併せて回答してくださるのを待ちたいと思います。