サインコサインの微分積分の結果は虚数単位の掛け算

質問

の結果に似ている理由はあるのでしょうか。サインはコサインになり虚数は実数になりプラスマイナスはその間変わってもいずれも4回行うと元に戻りますね。オイラーの公式と関係がありますか。

回答No.5

noname#242965 · ベストアンサー

【I】オイラーさん
e^█(iｘ＝cos（ｘ）＋isin（ｘ）・・・・・・（A）@　　　　　　　　　　　　　　　)　　　　
（１）そのままで
オイラー関数（A）の左辺は、“Fig1　複素平面”に於いて
----＞ 【０,i】 -----＞ 【－１,０】 -----＞ 【０、―i 】------＞【１，０】となり、
反時計回りに、単位円を一周する。
（２）一回微分
次にこの、オイラー関数（A）を微分する。
d/dx 〖｛e〗^iｘ｝＝d/dx｛cos（ｘ）＋isin（ｘ）｝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
〖ie〗^ix=-sin(x)+icos(x)・・・・・（B）

（B）式は、X ＝π/2の時、以下のようになる。
ie^(i π/2) =-1=i^2・・・・(１)
e^(i π/2)＝i・・・・・・・・・(２) 　　　
すなわち、オイラー関数は一回微分すると
位相がπ/2だけ進み、左回転を起こし
【Fig１　複素平面図】の虚数軸の【０、+i】の位置
に来る。

（３）二回微分 / ｘ＝πの時
（B）式をもう一度微分する。
d/dx 〖｛ie〗^iｘ｝＝d/dx｛-sin(x)＋icos（ｘ）｝　
〖i^2 e〗^ix=-COS(x)-isin(x)・・・・・・・（C_１） 　
〖-e〗^ix=-COS(ｘ)-isin(x)・・・・・・（C_2）
e^ix＝COS(x)＋isin(x)・・・・・・・・・（C_3)
（C_３）式＝（A）式となる。

ここで、ｘ＝πと置くと
e^iπ=-1+0・・・・・・・・・・・・（３）
（３）式はオイラーの公式となる。
オイラー関数は左回転を起こし【Fig1　複素平面図】の
【－１、０】位置に来る。

（４）3回微分 / ｘ＝３/２ πの時
（C_３）式を一回微分する。
〖ie〗^ix=-sin(x)+icos(x)・・・・・（B）　　　　　　
e^ix=＋COS(x)＋isin(x)・・・・（B_1） 　
（B_１）にｘ＝３/２ πを代入する。
〖 e〗^(i 3/2 π)=cos(3/2 π)＋isin(3/2 π)・・・・（B_2）　

e^(i 3/2 π)=０--i・・・・・・・・・・・（B_３）
すなわち、左回転を起こし、【Fig1　複素平面図】の
【０、－i 】の位置へ来る。

（５）４回微分 / ｘ＝２πの時
（D_1）をもう一度微分する。
e^iｘ=cos(x)+isin(x)・・・・・・・・・・・（D_3)

この式にｘ＝２πを代入する。
e^(i（２π）)=＋１・・・・・・・・・・・・・・（D_４)
オイラー関数は左回転をしながら、元の位置【＋１、０】へ帰ってくる。
、
以上から、オイラー関数 e^iｘは一回微分するごとに
（π/２）だけ位相が進み、
【＋１、０】----【０、＋i】----->【－１、０】---【０、－i】
---【＋１、０】
と左回転を起こし、単位円を一周する。
オイラー関数は微分すると左回転を起こし、積分すると
右回転を起こす。ちょうどメビウスの帯の表を微分とすると
その裏が積分となり、微分と積分は表裏一体の関係であることがわかる。また、リーマン面との関連も密なるものがある。

お礼

高校生に戻って勉強したいと思いました.e^xが微分積分で形を変えないことが連想されてしようがありません。メビウスの帯はいつもつ売っていますが、りーマン面はちょっと難しすぎます。

回答No.4

f272

#1です。
虚数単位の掛け算というのは次の式のことですね。
(A) i×i=-1___-1×i-=-i___-i×i=1___1×i=i
複素平面上ではi=cos(π/2)+i*sin(π/2)です。簡単のためcos(π/2)=C，sin(π/2)=Sとすればi=C+iS=(C,S)です。つまり式(A)は実部と虚部に分ければ
(B) C×i=-S___-S×i-=-C___-C×i=S___S×i=C
(B') S×i=C___C×i-=-S___-S×i=-C___-C×i=S
ということです。また，ここでcos(x)=c，sin(x)=sとすれば
(C) d(c)/dx=-s___d(-s)/dx=-c___d(-c)/dx=s___d(s)/dx=c
ですが，#1で言ったように「三角関数を微分することはiを掛けることと同じ」ということを思い出せば，式(B)は式(C)の特別な場合のことを言っているに過ぎないことが分かります。

お礼

なるほどですね。それほど驚くことでもないように思えてきました。e^xを微分してもe^xとなることに関係しているのかなと思いました。

回答No.3

QCD2001

全く関係ありません。

昔読んだSF小説に、こんな話が出ていました。

遥か未来、文明が滅び、神殿がかつての知識を保存しています。
その時代には、万有引力の法則というのは、恋人同士が引き合うことを表しているのだと考えられています。
似ているじゃあないですか。人と人が引き合うんです。物体と物体が引っ張り合うなんて、そんな力を感じたことはありませんよね。
恋人同士が引き合うのと万有引力で引き合うのと似ているじゃあないですか。

「似ているから関係がある。」なんてことはありませんよ。

微分と掛け算では違うでしょ。
７＋５＝１２
３×４＝１２
同じ答えになるから、３と４と５と７は関係があるのですか？
関係ないですよね。

お礼

うまく表現できませんでした。似ているという言い方もまずいようです。双対という概念もありますが、関係ないでしょうか。

回答No.2

gamma1854

cos(x)={e^(ix)+e^(-ix)}/2, sin(x)={e^(ix) - e^(-ix)}/(2i).
で定義されます。これから、
(d/dx)cos(x)=i*{e^(ix) - e^(-ix)}/2=-sin(x),
(d/dx)sin(x)=i*{e^(ix)+e^(-ix)}/(2i)=cos(x).
-------------------
※ 三角関数は指数関数より作られていて、指数関数がより本質的です。

お礼

以前も同じような質問をいたしておりました。何とか進歩したいと思います。

回答No.1

f272

exp(iθ)=cos(θ)+i*sin(θ)
の左辺を微分するとi*exp(iθ)になって，iを掛けることと同じです。iを掛けるというのは複素平面上で考えると原点を中心とする90度の回転を意味しています。4階で元に戻るのは当然ですね。
ちなみに上式の右辺にiを掛けるとi*cos(θ)-sin(θ)となって，実数部分虚数部分のそれぞれの対応関係からcos(θ)が-sin(θ)になって，sin(θ)がcos(θ)になることもわかります。

お礼

サインを微分するとサインとコサインが入れ替わり、符号も変わるところがi×i=-1,-1×i-=-i,-i×i=1,1×i=iと似ているという意味だったのですが、ご教示の勉強もさせていただきます。