三角関数の和に関する証明

質問

現在フーリエ解析関係の本を読んでいるのですが、
証明の途中で

Σ[k=1~n]exp(-i2πk/n) = 0　iは虚数単位

という式が出てきました。
これを示したいと思います。

オイラーの公式を使って
Σ[k=1~n]exp(-i2πk/n)
＝ Σ[k=1~n]cos(2πk/n) - iΣ[k=1~n]sin(2πk/n)

第二項が0であるということは容易に示せるのですが、
第一項が0であるということがどうも示せなくて困っています。

お力を貸していただけたらと思います。よろしくお願い致します。

回答No.3

Har-mo-nize · ベストアンサー

オイラーの公式もいいですが、シンプルに等比級数の式とみて変形すれば1発ですよ。

Σ[k=1~n]exp(-i2πk/n) =exp(-i2π/n)×{1-exp(-i2π)}/{1-exp(-i2π/n)} =0
（∵　exp(-i2π)=1　）

お礼

exp(-i2π)=1
この一行が全て解決してくれました。
等比数列の和であるというのは早い段階でわかっていたのですが、何故かここに気づかなかったです。
ありがとうございました。

回答No.4

stomachman

ANo.1の続き：「単位円周を2π/nだけ回転しても点の配置は変化しないのだから重心は0」ってことを式で書くなら
exp(-i2π)=exp(0)
より
Σ{k=0～n-1}exp(-i2πk/n)=Σ{k=1～n}exp(-i2πk/n)
を使って
exp(i2π/n)Σ{k=1～n}exp(-i2πk/n) = Σ{k=1～n}exp(-i2πk/n)
で、
n＞1 → exp(i2π/n)≠1
だから
n＞1 → Σ{n=1～n}exp(-i2πk/n)=0

お礼

素早い解答ありがとうございます。
確かにその通りですね！このような示し方があるとは驚きました。
本当にありがとうございました！

回答No.2

alice_44

sin を二つづつ組にして、和積公式を使うこともできますが、
最初の式は等比数列の和ですから、公式一発で処理するのが簡単です。
等比数列の和を知らなければ、高校の教科書か参考書を見てください。

お礼

無事解決しました。
解答ありがとうございます。

回答No.1

stomachman

x[k]+iy[k] = exp(-i2πk/n)
とおくと，点列(x[k],y[k]) (k=1～n) は単位円の円周をn等分するn個の点ですから，それらの重心が(0, 0)なのは自明では？

お礼

解答ありがとうございます。
確かにその通りなのですが、図形的に片づけるといまいち説得力に欠けるかなと思いまして…
ありがとうございました。