三角関数の公式

質問

すみません。つぎの公式を理解するのに苦しんでいます。
これは公式なのでしょうか？わかる方宜しくお願いします。

cosΦ／1＋sinΦ＝tan(45－Φ／2），cosΦ／1－sinΦ＝tan(45＋Φ／2）

回答No.3

SE-1 · ベストアンサー

tan(45-θ) = (tan45-tanθ)/(1+tan45*tanθ) # 加法定理
= (1-tanθ)/(1+tanθ) # tan45 = １
= (1-sinθ/cosθ)/(1+sinθ/cosθ)　 # tanθ = sinθ/cosθ
= (cosθ-sinθ)/(cosθ+sinθ)　# 上下に cosθ かけた
= (cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)/(cosθ+sinθ)^2　# 上下に (cosθ+sinθ) かけた*
= (cos^2θ-sin^2θ)/(cos^2θ+sin^2θ+2sinθcosθ)
= cos2θ/(1+sin2θ)　# ２倍角の公式

2θ = Φ に置き換え。

蛇足）ちなみに　*　で　(cosθ-sinθ) かけると最後　(1-sin2θ)/cos2θ

お礼

SE-1様
大変丁寧ね回答をありがとうございました。
おかげさまですっきりしました。
返事が遅くなってすみません。

回答No.5

kkkk2222

＃２＃４です

再読しましたら、＃３様は前半の証明でした。
行きがかり上、後半の＜＃３様の解法＞を掲載します。

tan((π/4)+(B/2))
=【(sin (π/4))cos(B/2)+(cos (π/4))sin (B/2)】/【cos(π/4))cos(B/2)- sin(π/4)sin (B/2)】
=【cos(B/2)+sin (B/2)】/【cos(B/2)- sin (B/2)】
=【cos(B/2)+sin (B/2)】【cos(B/2)- sin (B/2)】/【cos(B/2)- sin (B/2)】【cos(B/2)- sin (B/2)】
=cosB/(1-sinB)

お礼

kkkk2222様
いろいろとお世話になりました。
大変参考になりました。
ありがとうございました。
返事が遅くなってすみません。

回答No.4

kkkk2222

＃２です

後半は＃３様が成立を示されています。

前半を調べなおしました。

tan【(π/4)-(B/2)】とcosBの正負を検証した結果、見事に正負が一致しました。検証はグラフを使いました。
巧く変形をすれば、検証せずとも、成立が示せると思います。

回答No.2

kkkk2222

初めて見ます、なにか必要があって出した式、って感じです。
見た目にも半角/倍角ですね。
前半のみやってみます。

(tanA/2)^2=【1-cosA】/【1+cosA】

A/2=(π-2B)/4

【tan(π-2B)/4】^2
=【1-cos(π-2B)/2】/【1+cos(π-2B)/2】
=【1-sinB】/【1+sinB】
=【(cos(B/2)-sin(B/2)/(cos(B/2)+sin(B/2))】^2
=【cosB/1+sinB】^2

両辺のルートで、厳密には不成立。

回答No.1

kakkysan

公式としては見た事がありませんが、左辺から右辺を導くだけなならできそうです。
詳細はお任せしますが
左辺の分母分子のsinΦ、cosΦのそれぞれに倍角公式を適用して（Φ/2＝θとします）
分母＝１＋２sinθcosθ＝（cosθ+sinθ)^2
分子＝cos^2θ－sin^2θ＝（cosθ+sinθ)(cosθ－sinθ)
約分してから、三角関数の合成の公式適用、またsin(90゜-θ)＝cosθ
を利用して変形していくと右辺が導かれます。
ご自分で計算してください。

お礼

kakkysanさん
丁寧な回答大変ありがとうございました。
大変参考になりました。
お礼の返事が遅くなって済みませんでした。