高校数学 平面ベクトル

質問

同一直線上にない３点O,A,Bについて、↑OA=↑a,↑OB=↑bとする。
（１）↑OP=m↑a+n↑b(m,nは実数）で表される点Ｐが直線AB上にあるとき、m,nの間には、m+n=1の関係式が成り立つ。この関係式が成り立つ理由を点Ｐが直線AB上にあることを利用して示せ。
（２）OAの延長上に点Ｃ、OBの延長上に点Dをとり、ＢＣとADの交点をEとし、直線OEとＣＤの交点をＰとする。↑OE＝３分の２↑a+２分の１↑bのとき、↑OPを↑a,↑bを用いて表せ。
という問題です。
今までにこういう形式の問題を解いたことがないのでよくわかりません。
途中経過も詳しく回答していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw

（１）点Pが直線AB上にあるとき、ベクトルOPはベクトルａおよび
ベクトルＡＢを用いて
ＯＰ＝ａ＋ｔ・ＡＢ　・・・（あ）
と表されます（ｔは実数、ベクトル記号は省略しています）
点ＯからＰに行きたいときに
・まずＡまで行く
・ＡからＢに向かって進む
というイメージです。

（あ）においてＡＢ＝ｂ－ａなので、
ＯＰ＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）
　　＝（１－ｔ）ａ＋ｔ・ｂ
ａの係数とｂの係数を足すと１になりますね。

（２）
点Ｅは直線ＡＤ上にあるので、（１）の結果から
ＯＥ＝ｓ・ａ＋（１－ｓ）・ＯＤ
と表せます。また、点ＤはＯＢの延長上にあるのだから、
ＯＤ＝ｕ・ｂ
と表せます（ｓおよびｕは実数）。よって
ＯＥ＝ｓ・ａ＋ｕ（１－ｓ）・ｂ
なので、これを
OE＝２ａ／３+ｂ／２
と係数比較すると、ｓ＝２／３、ｕ＝３／２　となります。

同様に、点Ｅが直線ＢＣ上にあることから、
ＯＥ＝ｖ・ＯＣ＋（１－ｖ）・ｂ
であり、点ＣはＯＡの延長上にあるのでＯＣ＝ｗ・ａと
表せる（ｖ、ｗは実数）ので、
ＯＥ＝ｖ・ｗ・ａ＋（１－ｖ）・ｂ
これをOE＝２ａ／３+ｂ／２　と係数比較すると
ｖ＝１／２、ｗ＝４／３　となります。

点ＰはＣＤ上にあるので、
ＯＰ＝ｐ・ＯＣ＋（１－ｐ）・ＯＤ
と表され、
ＯＣ＝４ａ／３、ＯＤ＝３ｂ／２なので、
ＯＰ＝４ｐ・ａ／３＋３（１－ｐ）・ｂ／２　・・・（い）
点ＰはＯＥの延長上にあるので、ＯＰはＯＢの実数倍に
なるはずです。
そこで（い）とOE＝２ａ／３+ｂ／２を比較すると
４ｐ／３：２／３＝３（１－ｐ）／２：１／２
６（１－ｐ）＝４ｐ
ｐ＝３／５
これを（い）に代入すれば終了です。