ベクトルと平面図形

質問

ABベクトルを「→AB」と表します。

--------------------問題------------------
△ＯＡＢと→ＰＯ＋３→ＰＡ＋４→ＰＢ＝→０を満たす内部の点Ｐがある。
直線ＯＰと線分ＡＢの交点をＱとする。

→ＯＱを→ＯＡ、→ＯＢを用いて表せ。

------------------模範回答-----------------
→ＰＯ＋３→ＰＡ＋４→ＰＢ＝０より
－→ＯＰ＋３→（→ＯＡ－→ＯＰ）＋４（→ＯＢ－→ＯＰ）＝→０
－８→ＯＰ＝－３→ＯＡ－４→ＯＢ
→ＯＰ＝３→ＯＡ＋４→ＯＢ/8
　　　＝7/8・３→ＯＡ＋４→ＯＢ/7
よって　→ＯＱ＝３→ＯＡ＋４→ＯＢ/7

という問題なのですが、どうしたら「よって」になるのでしょうか？
→ＯＰ＝7/8→ＯＱと言うことなのでしょうが、どのように求まるのでしょうか？

回答No.3

ichi_poppo · ベストアンサー

線分ＡＢ上の点Ｑが、線分ＡＢの点Ｑは、
ＯＱ→＝ｔ・→ＯＡ＋（１－ｔ）・→ＯＢ
とあらわすことができます（０＝＜ｔ＝＜１）。
　　※たとえば、線分ＡＢ上の点Ｑが線分ＡＢをｍ：ｎに
　　　内分しているとすると、
　　　　ＯＱ→＝ｎ／（ｍ＋ｎ）→ＯＡ＋ｍ／（ｍ＋ｎ）→ＯＢ
　　　が成り立ちます。これも、ｔ＝ｎ／（ｍ＋ｎ）とすれば、
　　　上記と同じですね。
すなわち、線分ＡＢ上の点の場合、→ＯＡと→ＯＢの前の
係数を足し算すると１となります。

この回答の場合、→ＯＰ＝（３→ＯＡ＋４→ＯＢ）/8であるので、
→ＯＡ、→ＯＢの前の係数はそれぞれ３／８と４／８なので、
係数の和が１となるように変形すると、
→ＯＰ＝３／８→ＯＡ＋４／８→ＯＢ
　　　＝7/8・（３／７→ＯＡ＋４／７→ＯＢ）
となり、３／７→ＯＡ＋４／７→ＯＢがＡＢ上の点Ｑの→ＯＱ
を表すことになります。「よって」はこの意味となります。

この問題をとくあたっては、点Ｑが直線ＯＰ上にあるから、
→ＯＱ＝ｋ・→ＯＰ　と置くことができます。
また、点ＱはＡＢ上の点だから
　　→ＯＱ＝ｔ・→ＯＡ＋（１－ｔ）・→ＯＢ　と置く。

→ＰＯ＋３→ＰＡ＋４→ＰＢ＝０より
　　　→ＯＰ＝３／８→ＯＡ＋１／２→ＯＢと変形できます。
よって、
　→ＯＱ＝ｋ・（３／８→ＯＡ＋１／２→ＯＢ）
　　　　＝３ｋ／８→ＯＡ＋ｋ／２→ＯＢ
そのため、
ｔ・→ＯＡ＋（１－ｔ）・→ＯＢ＝３ｋ／８→ＯＡ＋ｋ／２→ＯＢ
がなりたち、
　ｔ＝３ｋ／８
　１－ｔ＝ｋ／２
この連立方程式を解いて、ｋ＝８／７　ｔ＝３／７
よって、
→ＯＱ＝３／７→ＯＡ＋４／７→ＯＢ
このように解くこともできます。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
内分点の公式はそういう構造で出来ていたんですね。

「よって」では説明不足のような気がします…
問題をやって慣れるのがよさそうですね。

別解までありがとうございます。
折角なので、両方とも使えるようにします。

回答No.4

nettiw

>> ↑ＯＰ=｛3↑ＯＡ+4↑ＯＢ｝/8
>> 直線ＯＰと線分ＡＢの交点をＱとする。
この条件は、
↑ＯＱ=t↑ＯＰ
↑ＯＱ=(1-s)↑ＯＡ+s↑ＯＢ・・・（係数の和が１）。
と書けるので、
↑ＯＱ=t↑ＯＰ=t【｛3↑ＯＡ+4↑ＯＢ｝/8】
　　(3/8)t+(4/8)t=1
　　　　　　　　　　　t=(8/7)
↑ＯＱ=(8/7)【｛3↑ＯＡ+4↑ＯＢ｝/8】
　　　　=｛3↑ＯＡ+4↑ＯＢ｝/7

解説は、

↑ＯＱは↑ＯＰの実数倍⇔↑ＯＰは↑ＯＱの実数倍である事と、
↑ＯＱを↑ＯＡと↑ＯＢを用いて表したとき、
　　　　　↑ＯＡと↑ＯＢの係数の和が１になればいい事を使用して、

この条件に合うように、
↑ＯＰ=｛3↑ＯＡ+4↑ＯＢ｝/8
　　　　=(7/8)【｛3↑ＯＡ+4↑ＯＢ｝/7】 と変形して、
｛3↑ＯＡ+4↑ＯＢ｝/7　は↑ＯＱ　そのものであると・・・。

お礼

回答ありがとうございます。

＞↑ＯＱ=(1-s)↑ＯＡ+s↑ＯＢ・・・（係数の和が１）
＞↑ＯＱ=t↑ＯＰ
をしっかり理解する必要がありそうですね。

回答No.2

pascal3141

よっての前から。
→ＯＰ＝３→ＯＡ＋４→ＯＢ/8
　　　＝7/8・３→ＯＡ＋４→ＯＢ/7
ここで、ＯからＡＢを４：３に内分する点をＲとすると、
→ＯＲ＝３→ＯＡ＋４→ＯＢ/7となり
→ＯＰ＝7/8・→ＯＲなので→ＯＲは→ＯＰを延長したベクトルでありかつ、ＡＢの内分点までのベクトルなので、ＲはＱと一致する。
よって、→ＯＱ＝３→ＯＡ＋４→ＯＢ/7

お礼

回答ありがとうございました。
内分点ですか…！それには気づきませんでした。
慣れると自然に閃くのでしょうか、、、？

回答No.1

noname#75273

テイセキで解くと
vec(OP) = ( 3 / 8 ) * vec(OA) + ( 1 / 2 ) * vec(OB)
ここで、
vec(OQ) = t * vec(OP) とおくと、
vec(OQ) = ( 3 t / 8 ) * vec(OA) + ( t / 2 ) * vec(OB)
また、
点 Q は辺 AB 上のであるため、
( 3 t / 8 ) + ( t / 2 ) = 1

補足

vec…ですか。
私は文系なので詳しく分からないのですが、
どういったものでしょうか？