ベクトルと平面図形の問題です。

質問

△OABにおいて、OA=4、OB=3、AB=√13とする。頂点Oから辺ABに垂線OHを下ろす。また、辺OBを2:1に内分する点をMとし、線分OHと線分AMの交点をPとする。 OA↑=a↑、OB↑=b↑とするとき

(1)内積a↑・b↑を求めよ
(2)OH↑、OP↑をa↑、b↑を用いて表せ
(3)OP↑の大きさを求めよ
という問題の解き方がわかりません。

数学が苦手で困っています(>_<)

なるべく詳しく解答してほしいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

(1)内積a↑・b↑を求めよ
＞
内積a↑・b↑=|a↑|*|b↑|*cos∠AOB
余弦定理により
13=16+9-2*4*3cos∠AOB、cos∠AOB=1/2
よって内積a↑・b↑=4*3*1/2=6・・・答え
(2)OH↑、OP↑をa↑、b↑を用いて表せ
＞
OH^2+AH^2=16・・・・・・・・(ア)
OH^2+(√13-AH)^2=9・・(イ)
両式より16-AH^2=9-(√13-AH)^2=-4+2AH√13-AH^2
AH=10/√13・・・・・・・・・・(ウ)
Hを通るOBに平行な直線とOAとの交点をNとすると
△OABと△NAHは相似。よってNA/OA=AH/AB=NH/OB
NA=(10/√13)*4/√13=40/13
NH=(10/√13)*3/√13=30/13
ON=OA-NA=4-40/13=12/13
OH↑=ON↑+NH↑=(ON/OA)a↑+(NH/OB)b↑
={(12/13)/4}a↑+{(30/13)/3}b↑
=(3/13)a↑+(10/13)b↑・・・答え
メネラウスの定理から(OM/MB)*(AB/AH)*(PH/OP)=1
(2/1)*(√13/10/√13)*(PH/OP)=1からPH/OP=5/13
Pを通るOBに平行な直線とOAとの交点をQとすると
△OPQと△OHNは相似。よってOQ/ON=OP/OH=PQ/NH
PH/OP=5/13からPH=(5/13)OP
OH=OP+PH=OP+(5/13)OP=(18/13)OP
OP/OH=13/18、OQ=(OP/OH)*ON=(13/18)(12/13)=2/3
PQ=(OP/OH)*NH=(13/18)*(30/13)=5/3
OP↑=OQ↑+QP↑=(OQ/OA)a↑+(QP/OB)b↑=(2/3/4)a↑+(5/3/3)b↑
=(1/6)a↑+(5/9)b↑・・・答え
(3)OP↑の大きさを求めよ
＞
(ウ)を(ア)に代入してOH^2=16-100/13=108/13
OP/OH=13/18よりOP=(13/18)√(108/13)=√(13/3)・・・答え

お礼

詳しく教えていただき、ありがとうございました！とても助かりました☆

回答No.3

suko22

＃1です。

すみません。計算ミスしてました。

＞(2)AH:HB=s:1-sとおくと、
＞　OH=(1-s)a+sb
＞題意よりOH⊥ABなのでOH・AB=0が成り立つ。
＞　よってOH・AB=OH・(OB-OA)={(1-s)a+sb}・(b-a)
＞=(1-s)a・b-(1-s)|a|^2+s|b|^2-sa・b
＞　　 =(1-s)*6-(1-s)*4^2+s*3^2-s*6=0・・・※
＞∴s=7/10
＞ゆえに、OH=(3/10)a+(7/10)b・・・答え

※のところの計算。正しく計算するとs=10/13となります。
以下OHの答え、それからそれ以下ずっと(3)まで答えが違ってきます。
やり方はあっているのであとは自分で計算してみてください。

お礼

丁寧に教えていただき、ありがとうございました！本当に助かりました！

回答No.2

ferien

＞△OABにおいて、OA=4、OB=3、AB=√13とする。頂点Oから辺ABに垂線OHを下ろす。また、
＞辺OBを2:1に内分する点をMとし、線分OHと線分AMの交点をPとする。 OA↑=a↑、OB↑=b↑とするとき
＞(1)内積a↑・b↑を求めよ
余弦定理より、
cos∠ＡＯＢ＝（ＯＡ^2＋ＯＢ^2－ＡＢ^2）／２・ＯＡ・ＯＢ
＝（４^2＋３^2－１３）／２×４×３
＝１／２
ａ・ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos∠ＡＯＢ＝４×３×（１／３）＝６

＞(2)OH↑、OP↑をa↑、b↑を用いて表せ
ＡＨ＝ｘとおくと、ＢＨ＝√１３－ｘ
△ＯＡＤと△ＯＢＨは直角三角形だから、
ＯＡ^2－ＡＨ^2＝ＯＨ^2＝ＯＢ^2－ＢＨ^2より、
４^2－ｘ^2＝３^2－（√１３－ｘ）^2
１６－ｘ^2＝９－（１３－２√１３ｘ＋ｘ^2）より、ｘ＝１０√１３／１３
ＢＨ＝√１３－（１０√１３／１３）＝３√１３／１３
だから、ＡＨ：ＨＢ＝１０√１３／１３：３√１３／１３＝１０：３
よって、ＯＨ＝（３／１３）ａ＋（１０／１３）ｂ

メネラウスの定理より、
（ＯＭ／ＭＢ）（ＢＡ／ＡＨ）（ＨＰ／ＰＯ）＝１より、
（２／１）（１３／１０）（ＨＰ／ＰＯ）＝１だから、
ＰＨ：ＯＰ＝５：１３から、ＯＰ：ＯＨ＝１３：１８
よって、
ＯＰ＝(13/18)ＯＨ＝(13/18)(3/13)ａ＋(13/18)(10/13)ｂ
＝（１／６）ａ＋（５／９）ｂ

＞(3)OP↑の大きさを求めよ
｜ＯＰ｜^2＝｜(1/6)ａ＋(5/9)ｂ｜^2
＝(1/36)｜ａ｜^2＋２×(1/6)×(5/9)（ａ・ｂ）＋(25/81)｜ｂ｜^2
＝(1/36)×１６＋２×(1/6)×(5/9)×６＋(25/81)×９
＝（４／９）＋（１０／９）＋（２５／９）
＝３９／９より、
｜ＯＰ｜＝√３９／３

お礼

丁寧に教えてくれて、ありがとうございました。とても助かりました！

回答No.1

suko22

以下、ベクトル記号は省略します。

まずは図を描いてみてください。
(1)∠AOBを求めるために余弦定理を三角形ABCに利用する。
　√13^2=4^2+3^2-2*4*3*cos∠AOB
　cos∠AOB=12/24=1/2
よって∠AOB=60°
　a・b=|a||b|cos∠AOB=4*3*(1/2)=6・・・答え

(2)AH:HB=s:1-sとおくと、
　OH=(1-s)a+sb
題意よりOH⊥ABなのでOH・AB=0が成り立つ。
　よってOH・AB=OH・(OB-OA)={(1-s)a+sb}・(b-a)
=(1-s)a・b-(1-s)|a|^2+s|b|^2-sa・b
　　 =(1-s)*6-(1-s)*4^2+s*3^2-s*6=0
∴s=7/10
ゆえに、OH=(3/10)a+(7/10)b・・・答え

　AP:PH=t:1-tとおくと、
　OP=(1-t)a+tOM
題意よりOM=(2/3)OB=(2/3)b
OP=(1-t)a+(2t/3)b・・・i
また、点Pは線分AH上にあるから、
　 OP=uOH
=u(3/10a+7/10b)
=(3u/10)a+(7u/10)b・・・ii
　i、iiより
　　1-t=3u/10, 2t/3=7u/10
この連立方程式を解くと、
　　t=7/9,u=20/27
よって、OP=(2/9)a+(14/27)b

(3)|OP|^2=OP・OP={(2/9)a+(14/27)b}・{(2/9)a+(14/27)b}
=(4/81)|a|^2+(2*2*14/(9*27))a・b+(196/729)|b|^2
=(4/81)*4^2+(56/243)*6+(196/729)*3^2
=(64+112+196)/81=372/81
|OP|>0より|OP|=(2/9)√93

計算は自分で確認するようにしてください。