ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください

質問

※a→は「aベクトル」という意味です。

OA＝３、OB=2の平行四辺形OACBがあります。OAを３：１の比に外分する点をDとし、BDとACの交点をEとします。さらに、OEとABの交点をFとします。OA→＝a→、OB→＝b→とするとき、
（１）OE→、OF→をa→、b→を用いて表してください。（途中式もお願いします。）

（２）∠AOB＝６０°のとき、点Fを通り、OEに垂直な直線とBCの交点をPとします。OP→をa→、b→を用いて表してください。（途中式もお願いします。）

ちなみに答えは、
（１）OE→＝a→＋(b→/3)、OF→＝(3a→/4)+(b→/4)
（２）OP→＝(17a→/40)+b→
です。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞OA＝３、OB=2の平行四辺形OACBがあります。OAを３：１の比に外分する点をDとし、
＞BDとACの交点をEとします。さらに、OEとABの交点をFとします。OA→＝a→、OB→＝b→とするとき、
＞（１）OE→、OF→をa→、b→を用いて表してください。（途中式もお願いします。）
ＯＤ：ＡＤ＝３：１なので、ＯＤ：ＯＡ＝３：２より、ＯＤ＝(3/2)ＯＡ＝(3/2)ａ
ＯＣ＝ＯＡ＋ＯＢ＝ａ＋ｂ
ＤＥ：ＥＢ＝ｓ：１－ｓとすると、
ＯＥ＝（１－ｓ）ＯＤ＋ｓＯＢ＝（１－ｓ）×(3/2)ａ＋ｓｂ　……（１）
ＡＥ：ＥＣ＝ｔ：１－ｔとすると、
ＯＥ＝（１－ｔ）ＯＡ＋ｔＯＣ＝（１－ｔ）ａ＋ｔ（ａ＋ｂ）＝ａ＋ｔｂ　……（２）
（１）（２）より、係数比較すると、
（１－ｓ）×(3/2)＝１，ｓ＝ｔ　より、ｓ＝ｔ＝1/3
よって、ＯＥ＝ａ+(1/3)ｂ
Ｏ，Ｆ，Ｅは一直線上にあるから、ＯＦ＝ｋＯＥとおける。
ＯＦ＝ｋａ＋(1/3)ｋｂ　……（３）
ＡＦ：ＦＢ＝ｕ：１－ｕとすると、
ＯＦ＝（１－ｕ）ａ＋ｕｂ　……（４）
（３）（４）より、係数比較すると、
ｋ＝１－ｕ，(1/3)ｋ＝ｕより、ｋ＝3/4，ｕ＝1/4
よって、ＯＦ＝(3/4)ａ＋(1/4)ｂ

＞（２）∠AOB＝６０°のとき、点Fを通り、OEに垂直な直線とBCの交点をPとします。
＞OP→をa→、b→を用いて表してください。（途中式もお願いします。）
内積ａ・ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos６０°＝３×２×(1/2)＝３
ＢＰ：ＰＣ＝ｍ：１－ｍとすると、
ＯＰ＝（１－ｍ）ＯＢ＋ｍＯＣ＝（１－ｍ）ｂ＋ｍ（ａ＋ｂ）＝ｍａ＋ｂ　……（５）
ＦＰ＝ＯＰ－ＯＦ＝（ｍａ＋ｂ）－｛(3/4)ａ＋(1/4)ｂ｝
＝（ｍ－3/4）ａ＋(3/4)ｂ
角ＯＦＰ＝９０度だから、ＯＦ・ＦＰ＝０
ＯＦ・ＦＰ
＝｛(3/4)ａ＋(1/4)ｂ｝・｛（ｍ－3/4）ａ＋(3/4)ｂ｝
＝(3/4)（ｍ－3/4）｜ａ｜^2＋(3/4)^2（ａ・ｂ）
　　　　　　　　　＋(1/4)（ｍ－3/4）（ａ・ｂ）＋(1/4)(3/4)｜ｂ｜^2
＝(3/4)（ｍ－3/4）×３^2＋(3/4)^2×３＋(1/4)（ｍ－3/4）×３＋(1/4)(3/4)×２^2
＝(30/4)ｍ＋（51/16)＝０
より、ｍ＝17/40　（５）に代入して、
よって、ＯＰ＝(17/40)ａ＋ｂ

図を描いて、計算を確認して下さい。