数学(2)・B

質問

aを定数とし、曲線y=x^3-6x+aをCとする。
C上の点(t,t^3-6t+a)における接線の方程式は
y=(3t^2-6)x-2t^3+a
である。これが点(1,-2)を通るのは
a=2t^3-3t^2+4
のときである。
問
点(1,-2)からCにちょうど二本の接線が引けるようなaの値を求めよ。

答a=3,4

g(t)=2t^3-3t^2+4とおくと
g'(t)=6t^2-6t=6t(t-1)
ここでg(t)のグラフを書いてa=3,4という答がでるみたいなのですが、
どうしてこの作業で点(1,-2)からCにちょうど二本の接線が引けるようなaの値
が求まるのですか？
いったいこれはどうゆう意味を持っているのでしょうか？

また、二本の接線=二個の接点を持つ
ということを生かした解法があったような記憶があるのですが、
どのようにすればいいのでしょうか？
(私の記憶違いであれば申し訳ありません。)
宜しくお願い致します。

回答No.5

thetas · ベストアンサー

a=3,4が出てくる理由について。

　まず、ここで出てくるtはＣ上の点のx座標であり、
　その点における接線の方程式が
y=(3t^2-6)x-2t^3+a ・・・(1)
となります。

　違う見方をすると、tによって異なる接線が求まる、ということに
なります。（３次曲線ならば、例外はないはず。。）

　そこで、点(1,-2)を通るＣの接線の本数は、(1)式に代入した
a=2t^3-3t^2+4・・・(2)
を満たすtの個数と一致します。

　そして、(2)を満たすtの個数は、
y=a　と　y=2t^3-3t^2+4
の交点の数と一致します。

　そのため、y=2t^3-3t^2+4のグラフとy=aのグラフの交点の数を考え
ることになります。

　で、「接線が２本」ということは、「条件を満たすtが２個」という
ことになり、それは「グラフの交点の数が２個」ということなので、
y=2t^3-3t^2+4のグラフを書き、y=aのグラフ（つまり横棒）との交点が
２つになるところを探せばよい、ということになります。
　そして、それが、a=3,4であった、ということです。

　と、おおまかに書くとこうなります。
　でも、問題の読み替えが複数でてくるので、分かりにくい点があれば、
おしらせくださいね。

お礼

ご解答有難うございました。
なんとか納得できたような気がします。

回答No.7

mirage70

#6の続き、
G(0)>0かつG(1)<0ならばG(t)=0は３つの実根を持ちます。
即ち、3<a<4の時には、接線が３本存在。
G(0)<0またはG(1)>0ならばG(t)=0は１つの実数解を持ちます。即ち、3>aまたは4<aのときは接線が１本となります。
以上をもちまして、接線が２本の時にはaの値は２つに限られることが理解出来ましたでしょうか。

お礼

質問以上のことまでご解答いただき、
有難うございました。

回答No.6

mirage70

a=2t^3-3t^2+4 のときである。
此を、G(t)=2t^3-3t^2+4-a=0とおきます。
此処で、tは曲線y=x^3-6x+a上の接点のx座標より、此のtが2個存在すれば、
点(1,-2)より接線を２本引けたことになります。
３次式で、２実根を持つのは極値で０となればよいわけですので、G'(t)=6t^2-6t=0即ち、t=0またはt=1で、G(t)=0が成立すればよいこととなります。
t=0のときa=4となり、t=1のときa=3となります。

お礼

ご解答有難うございました。
なんとか納得できたような気がします。

回答No.4

sanori

ごめんなさい。
今、考え直してみたら、＃２の最後の文は誤りであることに気づきました。
なるほど、自由度を１個減らすために、おっしゃるとおり「２個の接点を持つ」の条件が必要のような気がしますね。
朝、起きてから時間が合ったら、もう１回考えてみます．．．

お礼

何回も考えていただいたようで、有難うございました。

回答No.3

sanori

ごめんなさい。誤字やっちゃいました。
３時曲線→三次曲線

回答No.2

sanori

＞分かるのですが、納得ができません。
どうしてちょうど二本の接線が引けるようなaの値が2個だけなのか、もっとあるのでは？

なるほど、その疑問はよくわかります。
私の頭の中だと、接線が３本の場合も１本しか引けない場合も思いつきます。
接線が１本の例y=x(x+1)(x-1)に対して、原点(0,0)を通る接線は１本だけ．．．ですよね？
たぶん、ご質問の問題の場合は接線が２本になるような３時曲線と点との組み合わせというか状況設定が選ばれているんだと思います。もしもまちがってたらごめんなさい。

お礼

ご解答有難うございました。
なんとか納得できたような気がします。

回答No.1

sanori

g'(t)=6t(t-1)
と求まっていますよね。
ということは、g(t)はt=0とt=1で極値を持つ、ということですね。
a=2t^3-3t^2+4
ですから、これにt=0またはt=1を代入すると
a=...
もうおわかりですね？

お礼

＞もうおわかりですね？
はい。分かります。分かるのですが、納得ができません。
どうしてちょうど二本の接線が引けるようなaの値が2個だけなのか、もっとあるのでは？
というようように思ってしまいます。