z^3=-2+2i を解くときに・・・

質問

絶対値と偏角を使って解答せよとあります。

一つ目の答え　【√２e　^　πi/4　】　については、理解出来ましたが、

その次の行で、　2πi/3　を足したり引いたりするとあります。

この2πi/3は、一体どこから出てきたのかがわかりません。

わかる方がいましたら、どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

3乗根なので、1つの解がわかれば、
その解を円周の1/3、つまり
2π/3
-2π/3
だけ回転した結果も
解となります。

お礼

そういった基礎知識もないままに、この問題に挑んでいました。
シンプルで、とても助かりました。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.3

info222_

>その次の行で、　2πi/3　を足したり引いたりするとあります。
>この2πi/3は、一体どこから出てきたのかがわかりません。

z^3=-2+2i=√((-2)^2+2^2)e^(i3π/4)=2^(3/2) e^(i((3π/4)+2nπ))
n乗根を求める際はe^(i3π/4)の偏角に2nπを加えて一般角とします。
ここでは3乗根ですからn=-1,0,1とします（それ以外のnについては重複するので不要）。（nは通常、0を中心とする連続する3整数を採ります。）
z^3=2^(3/2) e^(i((3π/4)+2nπ))
z={2^(3/2) e^(i((3π/4)+2nπ))}^(1/3)
=2^(1/2) e^(i(π/4)+(2n/3)π)) (n=0,±1)

n=0としたのが z1=√2 e^(πi/4)
n=1としたのが　z2=√2 e^(πi/4+(2πi/3))=√2 e^(11πi/12)
n=-1としたのが　z3=√2 e^(πi/4+(-2πi/3))=√2 e^(-5πi/12)
となります。

お礼

＞n乗根を求める際はe^(i3π/4)の偏角に2nπを加えて一般角とします。

・・・とても助かりました・・・。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.2

yyssaa

＞z^3=-2+2iを極座標表示(極表示)にすると。nを整数として
z^3=-2+2i=2√2{-2/(2√2)+2i/(2√2)}=2√2(-1/√2+i/√2)
=2√2{cos(3π/4+2nπ)+isin(3π/4+2nπ)}=2√2e^{i(3π/4+2nπ)}
だから、
z=[2√2e^{i(3π/4+2nπ)}]^(1/3)=(2√2)~(1/3)e^{i(3π/4+2nπ)*(1/3)}
=√2e^{i(π/4+2nπ/3)}
n=0のときz=√2e^i(π/4)
n=±1のときz=√2e^{i(π/4±2π/3)}
となります。

お礼

早速のご回答を、どうもありがとうございました！
おかげさまで、すっきりしました。